A Kármán-féle örvény egy egyenletesen forgó, végtelen méretű síkkorong által létrehozott áramlás, amelyet Kármán Tódorról neveztek el, aki 1921-ben leírta és megoldotta a problémát. A forgó korong felülete folyadékszivattyúként működik, ezen alapul számos, áramlást hajtó eszköz, például centrifugális ventilátorok, kompresszorok, örvényszivattyúk, vagy a Tesla turbina. A forgó korong felülete által létrehozott áramlás az időben állandó áramlások kategóriájába sorolható, amelyekben a szilárd felületen keletkező örvénylést egy ellentétes áramlás megakadályozza abban, hogy a korongon túl, messzire kiterjedjen.
Az áramlás leírása Tekintsünk egy végtelen sugarú síkkorongot, amely állandó szögsebességgel forog folyadékban, amely kezdetben mindenhol nyugalmi állapotban van. A felszín közelében a folyadékot a korong a folyadék belső súrlódása (viszkozitás) miatt magával ragadva forgatja. A forgó vízre centrifugális erő hat, ami azt kifelé mozgatja. Helyére a forgástengely mentén folyadék áramlik be a tömegmegmaradás elvének megfelelően, melynek értelmében: a folyadék nem keletkezik és nem tűnik el. Ezért amennyi távozik onnan, a helyére ugyanannyi be is kell érkezik). Kármán Tódor észrevette, hogy az irányadó egyenletek és a peremfeltételek lehetővé teszik hogy és , illetve csakis a függvényei. Legyenek a hengeres tér sebességkomponensei pedig a hengeres tér koordinál, ahol a forgástengely helye és a forgó síkkorong felszínét jelöli. Ebben az esetben, rendszer hengeres szimmetriája miatt a folyadék nyomása csak a radiális és axiális koordinátáktól függ: . Ekkor a folyadékok folytonossági (kontinuitási) egyenlete és az összenyomhatatlan folyadékok Navier–Stokes-egyenlete a következőre egyszerűsödik:
ahol a kinematikai viszkozitás
a folyadék sűrűsége.
Határfeltétel: nincs forgás a lemez felett a végtelenben bélyegkép|300x300px| A Kármán-féle örvénylő áramlás hasonlósági sebességei és nyomása egy végtelen méretű forgó korong esetén a korong feletti távolság függvényében. Az F, G, H, P és értékek az alábbiak szerint függenek össze az (u,v,w) sebesség komponensekkel és p nyomással:. Mivel a forgó lemez felületétől mért nagy távolságban , már nem forog-mozog a folyadék, a ott már nem függ az távolságtól, ennek eredményeként . Ezért és .
Ezek a folyadékra vonatkozó, eset határfeltételei:
Az önhasonló megoldást a következő helyettesítésekkel kapjuk:
ahol a folyadék sűrűsége.
Az önhasonló egyenletek a következők:
az peremfeltétellel:
A kapcsolt közönséges differenciálegyenleteket numerikusan kell megoldani, de Cochran adott rá egy pontos megoldást. A numerikus integrációból kapott végtelen beáramlási axiális sebesség: , tehát a teljes kiáramló térfogatáram egy sugarú hengeres felületen . A korongon az érintő irányú nyírófeszültség .
Az élhatásokat elhanyagolva, a folyadék által a korongra kifejtett nyomaték nagy, de véges méretű sugár esetén:
A 2-es szorzó azért van mert a lemez mindkét felületére hatnak a folyadéktól származó erők. Numerikus megoldásból a nyomatékra ez adódik: (itt a korong szögsebessége, a folyadék kinematikai viszkozitása, pedig a korong sugara).
Az elmélet által jósolt nyomaték kiválóan egyezik a nagyméretű korongokon végzett kísérlettel, körülbelül a Reynolds-számig.
Az áramlás magas, e főlőtti Reynolds-számnál már turbulenssé válik.
Merev test forgása végtelenben Ezzel a problémával George Keith Batchelor foglalkozott 1951-ben.
Legyen a szögsebesség a végtelenben. Ilyenkor a nyomás a távolságban: .
Ezért és . Ekkor a folyadék határfeltételei a esetén:
Az önhasonló megoldást a következő helyettesítéssel kapjuk:
Az önhasonló egyenletek a következők:
a folyadék határfeltételei az esetben:
A megoldás könnyen elérhető, ha vagyis, ha a végtelenben lévő folyadék a lemezzel azonos irányban forog, mint a lemez. De a , a megoldás (mikor a lemezzel ellentétes irányban forog a folyadék) összetettebb abban az értelemben, hogy sokmegoldású elágazások fordulnak elő. Evans 1969-ben megoldást kapott a tartományra. Zandbergen és Dijkstra kimutatták, hogy a megoldás négyzetgyök-szingularitást mutat, mivel és talált egy második megoldási ágat, amely egyesül a következőre talált megoldással: . Ha a második ág megoldását addig folytatjuk, amíg , ekkor egy harmadik megoldási ág bontakozik ki. Emellett végtelen számú megoldási ágat találtak a pont körül. Bodoyni 1975-ben nagy, negatív értékekre végzett számításai megmutatták, hogy a megoldás a következő helyen szakad meg: .
Ha hagyjuk, hogy a forgó lemez egyenletes szívási sebességgel rendelkezzen a teljes lemezen, akkor értelmes megoldást kaphatunk a következőre: .
Mert ( szilárd testre vonatkozós eset, mikor az egész folyadék azonos sebességgel forog) az oldat a lemezről oszcilláló módon éri el a végtelen szilárd test forgását. Az axiális sebesség negatív lesz, ha és pozitív lesz, amikor hogyha igaz, hogy .
Explicit megoldás létezik akkor, ha (kicsi a sebességkülönbség a korong és a folyadék sebessége között).
Közel azonos sebességgel forog a folyadék és a korong Mivel mindkét határesetben a majdnem egyenlő eggyel, akkor az a megoldást várnánk hogy csak kissé tér el az egységtől. A megfelelő skálázással az és az önhasonló egyenletekből levezethetők. Ezért,
Elsőrendű közelítésben (elhanyagolva a másodrendű tagokat), az önhasonló egyenletrendszer a következő alakú lesz:
pontos megoldásokkal
Ezek a megoldások hasonlóak az Ekman-réteg megoldásához.
Nem tengelyszimmetrikus megoldások Az áramlásnak van egy nem tengelyszimmetrikus megoldása is, a Hewitt, Duck és Foster által felfedezett tengelyszimmetrikus határfeltételekkel.
Legyenek:
és a meghatározó egyenletek a következők:
a következő határfeltételekkel:
Numerikus integrációval kiderült, hogy a megoldás létezik erre a negatív tartományra: .
Bödewadt-áramlás A Bödewadt-áramlás azt az esetet írja le, amikor egy álló korongot forgó folyadékba helyeznek.
Két, azonos tengelyen forgó (koaxiális) körlemez Ezzel a problémával 1951-ben George Keith Batchelor és számos más kutató is foglalkozott. Itt a megoldás azért nem egyszerű, mert a problémába bejön a két lemez közötti távolság. Ezenkívül a stacionárius megoldás egyedisége és létezése a Reynolds-számnak () is függvénye.A eset határfeltételei:
Az -val kifejezve, a felső felület helye .
Korábban ezt a skálázást alkalmazták:
Célszerűbb bevezetni a Reynold-számos, következő helyettesítést:
így az egyenletrendszer a következőképpen néz ki:
ezzel a hat határfeltétellel:
és a nyomást a következő adja meg:
Itt hat peremfeltétel van, mivel sem a felső, sem az alsó falon a nyomás nem ismert; -t a megoldás részeként kell meghatározni. Nagy Reynolds-szám esetén Batchelor azzal érvelt, hogy a magban lévő folyadék állandó sebességgel forog, amelyet minden korongnál két határréteg határol. és két egyenletes, ellentétes irányban forgó vastagságú áramlás lenne mert . Stewartson azonban azt feltételezte, hogy a magban lévő folyadék nem forog, ha , de minden korongon csak két határréteg marad. Kiderült, hogy Stewartson feltételezései voltak helyesek voltak (lásd Stewartson-réteg).
Létezik egzakt megoldás arra az esetre, ha , de a két korong különböző tengely körül forog.
Alkalmazások középre|keretezett| Egy metán/levegő spirális diffúziós láng kísérlet felvétele. Forgó porózus tárcsás égő által generált Kármán-féle örvénylő áramlás (hamis színezéssel). A Kármán-féle örvény leírás és az ezzel kapcsolatos számítások eredményei számos területen játszanak fontos szerepet, például a forgórészes gépek, szűrőrendszerek, számítógépes tárolóeszközök, hő- és tömegátadási alkalmazások, égéssel kapcsolatos problémák esetében, de a bolygóképződés, illetve egyes geofizikai jelenségek élméleti hátterében is ott van.
Jegyzetek
Fordítás
Ajánlott irodalom
Kategória:Áramlástan