300px|thumb|Az összeg négyzetének geometriai szemléltetése. A nagy négyzet oldalhossza ; a bal felső sarokban látható kék közepes négyzet oldalhossza , a jobb alsó sarokban megjelenő sárga kis négyzet oldalhossza . Nem szabad megfeledkezni a zöldeskék téglalapokról sem, melyek jobb oldalon, illetve alul jelennek meg, oldalaik hossza pedig és Az elemi algebrában a binomiális formulák a nevezetes azonosságok közül pontosan azok, amelyek kéttagú összegek és különbségek szorzatáról szólnak. A nevezetes azonosságok közé háromtagú összegek, illetve különbségek szorzatai is tartoznak. Kéttagú összeg vagy különbség például:
vagy pedig
A binom elnevezés Euklidésztől származik.
Szűkebb értelemben ezek a nevezetes azonosságok a binomiális formulák: összeg négyzete, különbség négyzete, összeg és különbség szorzata.
Tágabb értelemben akárhány tényező szerepelhet a szorzatban, lásd binomiális tétel.
Gyakori hiba, hogy összeg négyzetre emeléskor megfeledkeznek a két tag szorzatának kétszereséről, így pontos érték helyett alsó becslést kapnak. Például az négyzetre emelésnél fel kell bontani a zárójeleket, így az eredmény nem , hanem . Ez akkor nem hiba, ha az egyik tag nullával egyenlő. A felsőbb matematikában előfordul, hogy 2 karakterisztikájú testben végzik a számolást. Ekkor sem kell számításba venni a két tag szorzatának kétszeresét, mivel ezekben a testekben fennáll a 2 = 0 egyenlőség. A binomiális formulák minden kommutatív gyűrűben működnek – itt gondolhatunk például az egész számokra.
A binomiális formulák tartalmazzák azokat a szabályokat, melyekkel a kifejezés és a hozzá hasonló kifejezések eredménye korrektül kiszámítható a binom két tagjának ismeretében. Ezek a szabályok különösen akkor bontakoztatják ki értelmüket, ha a binomnak nincs mindkét tagja kiszámítva, mint például , mégis átalakításra van szükség. Példa erre a másodfokú egyenlet, a teljes négyzetté való kiegészítés, a Pitagorasz-tétel egyik bizonyítása, de találhatók felsőbb matematikai alkalmazásai is az analízisben és a valószínűségszámításban.
A binomiális formulákat arra használják, hogy megkönnyítsék a zárójeles kifejezések kiszorzását, és számolási hibákat kerüljenek el. További alkalmazásaik támogatják a termek tényezőkre bontását, szorzótényezőkként szereplő összegek és különbségek átalakítását, segítik törtkifejezések egyszerűsítését és megoldást nyújtanak gyökkifejezések megoldását. Alapvetően a disztributivitás, az asszociativitás és a kommutativitás felhasználásával kéttagú összegek kéttényezős szorzatainak felbontásával adódnak:
ahol , és az előjeleket a megfelelő módon változtatjuk. A babilóniak i. e. 1900 körül ismerték; Euklidész geometriai módszerekkel bizonyította. A babilóniaiak már i. e. 1900 körül ismerték. Kifejtés Binomiális formuláknak rendszerint a következő másodfokú képleteket nevezik:
összeg négyzete, különbség négyzete, összeg és különbség szorzata.
ahol és négyzetes tagok, pedig vegyes tag. Itt a a matematikában szokásos módon a szorzatot jelöli. A binomális a binom szóra utal, ami kéttagú termekre utal, ahol ezeket a tagokat összeadjuk vagy kivonjuk.
A binomiális formulák a legáltalánosabban fejeznek ki bizonyos számítási szabályokat, ahol a számokat vagy ismeretleneket és jelöli. Emögött az áll, hogy minél több alkalmazásra hasznos lehessen. A jobb érthetőség kedvéért érdemes több behelyettesítést is elvégezni. Legyen most a különbség négyzetében és :
Másrészt mivel először a zárójel tartalmát kell kiszámítani. Bizonyítás A formulák érvényessége a zárójelek felbontásával látható be:
thumb|400px|A disztributivitás szemléltetése téglalapokkal Ezek a számítások felhasználják az asszociativitást, a disztributivitást és a kommutativitást. A zárójel felbontása azt jelenti, hogy minden tagot minden taggal meg kell szorozni:
ahol a megfelelő előjellel.
Habár a különbség négyzete önálló formulaként szerepel, behelyettesítéssel adódik az összeg négyzetéből, melyet -ra és -re alkalmazunk. Ugyanis
Megjegyzések A kommutativitás teszi lehetővé, hogy a szorzatokban felcseréljük a tényezőket. Így az összeg és különbség szorzatában sem számít a tényezők sorrendje:
és az összeg, illetve különbség négyzetének levezetésében az ab szorzat egyenlő ba-val, innen a tag.
A binomiális formulák azonosságok: a bal- és a jobboldal egyenlősége a számok és ismeretlenek bármely helyettesítésére teljesül. Ezzel szemben az egyenlőségek gyakran nem értelmezhetők mindenütt, és nem is teljesülnek minden behelyettesítésre.
Az és betűk választása önkényes; helyükre tetszőleges két betűt lehetne írni. Az egyetlen megkötés, hogy különbözőek legyenek, mivel azonos betűk mindenütt ugyanazt a számot jelentik, az azonosság pedig fennáll abban az esetben is, amikor a különböző betűk különböző számokat jelölnek. Maga a formula azonos marad a betűzéssel, illetve elméletileg úgy is, mint . Azonban például a jelölés helytelen, mivel ez csak a képlet speciális esetét fejezi ki: azt, amikor a két tag egyenlő. Lefedi például az és eseteket, de például az esetet nem.
Szemben az olyan elnevezésekkel, mint például az Abel, a binomiális elnevezés nem egy matematikus nevéből származik. A matematikai humor szerint a tételt Alessandro vagy Francesco Binomiról nevezték volna el. Egyes német nyelvű tankönyvekben így is szerepel.Heinrich Zankl: Irrwitziges aus der Wissenschaft. Weinheim 2012, Kapitel Klangvolle Namen ()Thomas Rießinger: Gleichungen, Umformungen, Terme. Berlin/Heidelberg 2016, S. 70.
Geometriai szemléltetés A binomiális formulák szemléltethetők elemi geometriai mintázatokkal is.Felicitas Pielsticker: Mathematische Wissensentwicklungsprozesse von Schülerinnen und Schülern. Wiesbaden 2020, S. 116–128.Andreas Pallack (Hrsg.): Fundamente der Mathematik. Berlin 2016, S. 24–25. Ehhez az az előzetes ismeret szükséges, hogy a téglalap területe a két oldal hosszának szorzataként, a négyzeté pedig az oldalhossz négyzeteként számítható. A későbbiekben ezeket mutatjuk be.
Összeg négyzete:
180px|balra|Az összeg négyzetének szemléltetése a+b oldalhosszú négyzettel Az ábrán látható négyzet oldalhossza . Két egymással szembeni sarokban elhelyezhető egy-egy és oldalhosszú négyzet, területük rendre és , a maradék terület pedig lefedhető két téglalappal. Tehát a nagy négyzet területe Adódik, hogy Willy Bennewitz, Fritz Warnecke, Günther Dross: Lehr- und Übungsbuch der Mathematik für Ingenieur- und Fachschulen. Band 1, Frankfurt am Main / Zürich 1963, S. 34.Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra. Berlin 2022, S. 30.
Különbség négyzete: 180px|balra|Különbség négyzetének szemléltetése a−b oldalhosszú négyzettel Egy hasonló ábrával szemléltethető a különbség négyzete, azonban ezt máshogy kell értelmezni. Itt a nagy négyzet területe , aminek egyik sarkában található a oldalhosszú négyzet. Ennek megkapásához ki kell vonni két téglalapot, egy álló és egy fekvő téglalapot, melyek a négyzet oldalának végéig tartanak. Ezzel azonban a jobb alsó sarokban kétszer lett kivonva a oldalhosszú négyzettel szembeni sarokban levő területű négyzet, melyet a korrekt végeredmény érdekében pótolni kell.
Az itt szemléltetett képlet
Összeg és különbség szorzata 180px|balra|Összeg és különbség szorzatának szemléltetése a+b és a−b oldalhosszúságú téglalapokkal A harmadik képen a világos és a sötétkék négyzet. Ha ebből levonjuk a sárga keretű négyzetet és a maradék világoskék téglalapot leforgatjuk és (türkiz színnel) odaillesztjük, akkor a sötétkék és a türkiz felületből egy szélességű és magasságú téglalap keletkezik.
Ezzel szemléltethetjük az képletet.Willy Bennewitz, Fritz Warnecke, Günther Dross: Lehr- und Übungsbuch der Mathematik für Ingenieur- und Fachschulen. Band 1, Frankfurt am Main / Zürich 1963, S. 35.
Az összeg és különbségének szorzata másként is szemléltethető:
Ügyelni kell arra, hogy ezek a szemléltetések csak az eseteket szemléltetik. A képletek érvényessége azonban kiterjed negatív számokra is a disztributivitásból, asszociativitásból és kommutativitásból adódóan.
Történetük Babilónia thumb|400 px|Az YBC 7289 babilóniai agyagtábla feliratokkal. Az átló a 2 négyzetgyökének közelítését mutatja négy hatvanados jeggyel, ami hat tizedesjegyre pontos: A tábla tartalmaz egy példát is, ahol a négyzet oldala és a hozzá kiszámított átló tízes számrendszerben A binomiális formulák felfedezése visszavezethető i.e. 1900 előttre, amikor is már ismert volt a Babilóniai Birodalomban. Geometriai bizonyítása Euklidész Elemek című művében jelent meg. Euklidész azonban nem tudta magasabb fokra általánosítani, mivel túlságosan is ragaszkodott a geometriai szemlélethez. Indiában Brahmagupta és mások néhány évszázaddal később az összeg köbére is ismerték a felbontást. A modern felsőbb matematikában a binomiális formulák elválaszthatatlanok magasabb fokú változataiktól.
Mezopotámiában az összeg négyzete és az összeg és különbség szorzata az algebra lényegi részéhez tartozott i.e. 1900 és i. e. 1600 között.H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wesemüller-Kock, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra. Berlin/Heidelberg 2014, S. 43.
A felszínszámítás során a babilóniaiak másodfokú egyenletekhez jutottak. Ezek megoldásához erre az időre már a maihoz hasonló megoldásokat fejlesztettek ki. Hammurapi dinasztiájának idejéből származó szövegek szerint már ismertek algoritmusokat, melyekkel ugyanúgy oldották meg ezeket az egyenleteket, mint ahogy azt ma is ismerjük. Azt azonban nem tudjuk, hogyan jutottak ezekhez. Azonban mivel rendelkezésükre állt az összeg és különbség szorzata, hasonlóan járhattak el, mint később Alexandriai Diophantosz.H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wesemüller-Kock, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra. Berlin/Heidelberg 2014, S. 35–36.
A babilóniaiak használták az összeg négyzetét négyzetgyökök közelítésére, lásd a Hérón-módszert. Ha kicsi -hoz képest, akkor várható, hogy
egy elég kicsi -val. Ha ezt négyzetre emeljük, akkor
elhanyagolásával adódik a összefüggés, tehát
Ez különösen akkor praktikus, ha négyzetszám. Valószínűleg ez alapján adtak közelítést a 2 négyzetgyökére, ami az általuk használt 60-as számrendszerben -nek adódott. Tízes számrendszerben az eredmény megközelítőleg Ezt agyagtáblák is tanúsítják i. e. 1900 körültől.Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Berlin/Heidelberg 2011, S. 22–23. A négyzetgyök kettő első néhány jegye Euklidész, Elemek thumb|300px|Az Elemek II. kötetének egy papirusztöredéke az összeg és a különbség szorzatáról Oxyrhynchosból Az binomiális formulát Euklidész az i. e. 3. században bizonyította geometriai módszerekkel Elemek című művében. A bizonyítás a II. könyvben szerepel, a geometriai algebra keretében.Franz Lemmermeyer: 4000 Jahre Zahlentheorie. Berlin 2023, S. 93. Ő használta a binom elnevezést is.Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt. Berlin 2017, S. 60–61. A bizonyítást német nyelven lásd itt:
Euklidész ezt követően foglalkozott az összeg és különbség szorzatával is, az alakban.Lisa Hefendehl-Hebeker, Sebastian Rezat: Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung. In: R. Bruder, L. Hefendehl-Hebeker, B. Schmidt-Thieme, H.-G. Weigang: Handbuch der Mathematikdidaktik (123–158), Berlin 2015, S. 125. Ezt az állítást is geometriai eszközökkel bizonyítja. A bizonyítást németül lásd itt: