A geometriában a Hérón-háromszög egy olyan háromszög, melynek oldalai és területe is racionális szám. Nevét alexandriai Hérónról kapta. Példák Minden háromszög, melynek oldalai pitagoraszi számhármasokat alkotnak, mivel az oldalak egész számok, a háromszög derékszögű, és területe a befogók szorzatának a fele.
thumb|A c, e és b + d, illetve a magasságú háromszög
Azonban nem minden Hérón-háromszög derékszögű. Például az és oldalhosszú egyenlő szárú háromszög Hérón-háromszög, ugyanis két oldalhosszú háromszögre van bontva. Területe . Ez általánosítható: Veszünk egy pitagoraszi számhármast, amelyben a a legnagyobb szám, és egy másik pitagoradszi számhármast, -t, melyben a legnagyobb szám. Ezt a két háromszöget összerakjuk az hosszú oldalnál. Az új háromszög oldalhosszai és . Területe racionális szám, hiszen
Érdekes kérdés, hogy minden Hérón-háromszög megkapható-e ezzel a módszerrel. A választ már ismerjük: nem. Vannak olyan Hérón-háromszögek, melyek nem kaphatók meg így. Például ha a fenti egyenlő oldalú háromszöget a tizedére kicsinyítjük, akkor az oldalhosszak és , az oldalhosszak nem egészek, így nem állnak elő pitagoraszi hármasok összetételével. Egy másik példa az oldalhosszú háromszög, amelynek magasságai nem egész számok. Azonban ha a pitagoraszi hármasokat kiterjesztjük a racionális számokra, akkor a válasz már igen. Figyelnünk kell arra, hogy a hármas mindhárom tagját ugyanazzal a számmal osszuk.
Egy Hérón-háromszögben a belső szögek felének tangense racionális szám. A belső szögek szinusza és koszinusza is racionális szám. A Hérón-háromszögek felbontási tétele Tétel: Minden Hérón-háromszög felbontható két derékszögű háromszögre, melyek oldalhosszai racionális pitagoraszi számhármasok.
Bizonyítás: Tekintsük a fenti vázlatot, és feltesszük, hogy az oldalhosszak és a terület racionális. Feltételezhetjük, hogy a jelöléseket úgy választottuk, hogy a leghosszabb oldal. Ez biztosítja, hogy a szemben fekvő csúcsból az oldalra bocsátott merőleges talppontja az oldal belsejébe esik. Ahhoz, hogy belássuk, hogy és racionális pitagoraszi hármasok, meg kell mutatni, hogy és racionális.
A háromszög területe
Ezt átrendezzük -ra, így: . Ez a kifejezés racionális, mivel a jobboldalon minden szám racionális. Még azt kell belátni, hogy és racionális. A Pitagorasz-tétel alapján a két derékszögű háromszögre
és .
Ezeknek az egyenleteknek a kivonásával: , , .
Az utolsó egyenlet jobboldala racionális, mivel az előfeltétel szerint és racionális. Ezzel bizonyított, hogy racionális. Innen racionális volta miatt következik, hogy és is racionálisak.
Majdnem egyenlő oldalú Hérón-háromszögek A Hérón-háromszögek nem lehetnek egyenlő oldalúak, mivel egy egyenlő oldalú háromszögben vagy a terület, vagy az oldalhossz, vagy mindkettő irracionális. Azonban végtelen sok Hérón-háromszög létez9ik, melyek oldalhossza ; ezeket nevezik majdnem egyenlő oldalú háromszögnek.</math>. Az ilyen megoldásokat adó számok sorozata (), és összefügg az Lucas-sorozattal, illetve a Pell-egyenlettel. Jegyzetek
Források Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, . Fordítás
Kategória:Háromszögek