A formális csoportszabályok az algebrában olyan formális hatványsorok, amik egy csoportstruktúra definiálásához szükséges tulajdonságokkal bírnak. A formális csoportszabály által definiált csoportokat formális csoportnak nevezik. A szakirodalomban gyakran mindkét fogalomra a formális csoport kifejezést használják.
A formális csoportok alkalmazási területei közé tartozik az algebrai számelmélet (különösen az osztálytestelmélet), az algebrai illetve az aritmetikai geometria, valamint az algebrai topológia.
Definíciók
Egydimenziós formális csoportszabályok Legyen R egy kommutatív gyűrű. Legyen egy R feletti kétváltozós formális hatványsor. Ekkor F egy R feletti egydimenziós formális csoportszabály, ha teljesíti a következő feltételeket: és , , . Ezek a feltételek intuitíve megfelelnek a csoportaxiómáknak: az első a neutrális elemmel való szorzást írja le, a második a csoportművelet asszociativitásáról szól, a harmadikból pedig következik az inverz elemek létezése.
A csoportszabályt kommutatívnak mondjuk, ha .
Formális csoportok Legyen R egy teljes topologikus gyűrű egy I ideál által definiált I-adikus topológiával. (Ennek az alkalmazásokban gyakran előforduló speciális esete, ha R egy teljes lokális gyűrű és I a maximális ideál.) Legyen F egy egydimenziós formális csoportszabály R felett. Ekkor F definiál egy csoportstruktúrát az I ideálon: ha , akkor legyen
A definícióból következik, hogy az sor konvergens, és az így definiált művelet valóban csoportművelet.
Magasabb dimenziós formális csoportszabályok Legyen R egy kommutatív gyűrű. A rövidség kedvéért legyen és az első illetve második n változóból álló vektor. Legyen F n darab R feletti 2n-változós formális hatványsor:
Ekkor F egy R feletti n-dimenziós formális csoportszabály, ha teljesíti a következő feltételeket: és
Minden i-re . A csoportszabályt kommutatívnak mondjuk, ha .
Honda-elmélet
Példák Bármely R kommutatív gyűrű felett létezik a additív illetve a multiplikatív formális csoportszabály: ezek egydimenziós kommutatív csoportszabályok, definíciójuk a következő:
Elliptikus görbék Legyen E egy elliptikus görbe a következő Weierstraß-egyenlettel:
A Weierstraß-egyenlet az origó kicsiny környezetében egy formális csoportszabályt határoz meg a következő módon. Legyen
Ekkor a Weierstraß-egyenletet iteratíve önmagába formálisan behelyettesítve az elliptikus görbe pontjai paraméterezhetők z-ben: az x- és az y-koordináta is kifejezhetők egy-egy z-beli illetve formális Laurent-sorban. Az elliptikus görbe csoportszabályát a görbe két és pontjára felírva egy formális csoportszabályt kapunk.
Az így kapott formális csoportszabály önmagában nem alkalmas az elliptikus görbe pontjainak előállítására: valóban, tetszőleges test felett a hatványsorok nem feltétlenül konvergensek. Egy lokális test egészeinek gyűrűjében fekvő maximális ideálban azonban a hatványsorok konvergálnak. Az így kapott formális csoport alkalmas a globális testek felett definiált elliptikus görbék lokális tulajdonságainak tanulmányozására.
A Weierstraß-egyenletből kapható egy másik formális csoportszabály is: ez a görbe Hasse–Weil L-függvényéből származik. A racionális számok felett definiált elliptikus görbék esetében lokális testek felett ez a két formális csoportszabály a Honda-elméleten keresztül azonosítható egymással.
Jegyzetek
Források
IV. fejezet
Kategória:Algebra