thumb|hochkant=0.8|1. ábra: Külső Napóleon-háromszög (zölddel) A Napóleon-háromszög a háromszög-geometriában egy háromszöghöz rendelt két egyenlő oldalú háromszög, melyek nevüket Napóleon francia császárról kapták.
Definíció thumb|Külső Napóleon-háromszög (pirossal): belső Napóleon-háromszög (kékkel): Legyen ABC egy tetszőleges háromszög. Oldalaira kifelé három egyenlő oldalú háromszöget emelünk, ezek , és . Ezek súlypontjai , ezek a külső Napóleon-háromszög csúcspontjai. Ha az egyenlő oldalú háromszögeket befelé rajzoljuk, akkor ezek súlypontjai a belső Napóleon-háromszöget határozzák meg.Martin J. Erickson: Aha! Solutions. MAA, 2009, , S. 49–51Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65
Az így keletkezett háromszögek egyenlő oldalúak, ami Napóleon-tételként ismert.
Nincs semmi bizonyíték arra, hogy ezt a tételt Napóleon fedezte volna fel. 1825-ben William Rutherford angol matematikus említette a The Ladies’ Diary folyóiratban.Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR) Tulajdonságok thumb|hochkant=0.8|2. ábra: Kiterjesztés hatszöggé (zöld) A részháromszögek súlypontja Az adott háromszög súlypontja egybeesik a külső Napóleon-háromszög súlypontjával és megegyezik a belső Napóleon-háromszög súlypontjával. A részháromszögek területe A külső Napóleon-háromszög és a belső Napóleon-háromszög területének különbségéből kiszámítható az eredeti háromszög területe, tehát:
ahol a Napoleon-háromszögek területe:
Hatszögek létrehozása Ha egy háromszöghöz készült alakzatot az háromszög többi oldalára is alkalmazzuk (1. ábra), úgy kapunk egy szabálytalan csillagszerű alakzatot, hat külső háromszöggel (2. ábra). Ezeknek a háromszögeknek a súlypontja egy szabályos hatszög csúcsait adja ki, melynek három átlója a Napoleon-háromszög súlyponjában metszi egymást. Parkettázás A szabálytalan hatszög (3. ábra) az alakzat négy részháromszögéből áll, ahol az eredeti háromszög háromszor fordul elő. Az ezekből a háromszögekből összeállított hatszöggel parkettázható a sík (4. ábra) Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, , Seiten 90 und 91
(A parketta alkotórészeinek elkülönítése érdekében különböző színeket alkalmaztunk)
Következmények thumb|150px|6. ábra thumb|148px|5. ábra Egy háromszög oldalait egyenként három egyenlő részre osztjuk. A középső szakaszokra kifelé egy-egy egyenlő oldalú háromszöget emelünk. Ekkor az háromszögön kívül eső , és pontok szintén egyenlő oldalú háromszöget képeznek. (5. ábra)
Bizonyítás: Az egyenlő oldalú háromszögek külső csúcspontjai éppen az háromszög oldalaira kívülről emelt háromszögek súlypontjai. Emiatt a pirossal határol háromszög az háromszög Napoleon-háromszöge, így egyenlő oldalú (6. ábra). Általánosítás Ha egyenlő oldalú háromszögek helyett hasonló egyenlő szárú háromszögeket használunk, akkor Kiepert-háromszögeket kapunk. Jegyzetek
Források Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65 Ilya Belenkiy: New Features of Napoleon Triangles. In: Journal of Geometry,. Band 66, Heft 1, November 1999, S. 17–26. Dominik Wrazidlo, Manuel Plate: Napoleon auf der Spur. Spitzendreiecke mit konstanen Innenwinkeln. Junge Wissenschaft, Band 89, 2011, S. 16–22 (Digitalisat) Stan Dolan: Triangles around a given triangle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 99, No. 546, November 2015, S. 432–443 (JSTOR) Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann: The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012, Kapitel 7 Areas of and within triangles Fordítás
Kategória:Háromszögek