bélyegkép|jobbra|Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület thumb|right|Riemann-összegek egy sorozata az integrálási intervallum fölötti szabályos felosztású partíción. A felül lévő szám a téglalapok területeinek az összegét mutatja, ami a függvény integráljához konvergál. thumb|right|A partíciónak ugyanakkor nem kell szabályosnak lennie. A szükséges kritérium a partíciósorozatra (amely fölött vesszük a Riemann összegek sorozatát) az, hogy minden részintervallum hosszának 0-hoz kell tartania. A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészelés).
Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.
Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
Riemann-integrál definíciója Riemann definíciója Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.
bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény. Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen halmazzal, ahol . Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen:
bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása
Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.
Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:
Ezt a jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: vagy röviden: .
Összefoglalva:
ahol
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
Jellemzés a Darboux-integrálokkal Ha a összegben az helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: , ahol a függvény felső határa (supremuma) az intervallumon.
Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: , ahol az függvény alsó határa (infimuma) az intervallumon.
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál: , és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál: .
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.
A Riemann-integrál tulajdonságai Kapcsolata a folytonossággal Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
Ha Riemann-integrálható -n, és , akkor folytonos -n.
Linearitás Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvények, valós konstans, akkor és is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:
Az integrációs határok felcserélése Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor
Az integrációs intervallum felbonthatósága Legyen . Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor Riemann-integrálható és intervallumokon is, valamint:
Háromszög-egyenlőtlenség Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor is az, és teljesül a következő:
Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség Ha az intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:
Newton–Leibniz-formula A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel az Isaac Barrow által felfedezett Newton–Leibniz-formula:
Ha -n , akkor
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha Riemann-integrálható -n, és (azaz határozatlan integrálja f-nek), akkor , az intervallum minden pontjára.
Parciális integrálás A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:
Helyettesítéses integrálás Legyen , ahol folytonosan differenciálható, és folytonos általi képén. Ekkor
A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
Egy intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).
Egyéb integrálok
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom: Banach-integrál Burkill-integrál Daniell-integrál Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása Dirichlet-integrál Euler-integrál Fejér-integrál Haar-integrál Henstock–Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is) Henstock–Kurzweil–Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is) Itô-integrál Itô–Stieltjes-integrál Lebesgue-integrál Lebesgue–Stieltjes-integrál (Lebesgue–Radon-integrál néven is) mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal Poisson-integrál Radon-integrál Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann–Stieltjes-integrálnak is nevezik) sztochasztikus integrál Wiener-integrál Young-féle integrál
További információk Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel . Szerző: David M. Harrison
Források
Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged. Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o. Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged. Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest. Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
Kategória:Valós analízis