A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).
Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával. Ha a három tényező ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, akkor az előjel pozitív; ha balrendszert, akkor negatív. Definíció Legyenek , és háromdimenziós vektorok -ben! Ekkor vegyes szorzatuk: . Jelölése Gyakran nem vezetnek be külön jelölést, hanem a definíciót használják: . Más jelölések: , és . Tulajdonságai abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra. Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0. A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz
Disztributív a vektorösszeadásra nézve
.
Mivel , azért: . . . A skaláris szorzat definíciója alapján: . ahol a vektornak és az és vektor síkjára merőleges, azokkal jobbrendszert alkotó vektornak a szöge.
Geometriai jelentése A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata. A vektorok által kifeszített tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának hatoda.
Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe: .
A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint
Ebből következik, hogy
Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.
Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek. Algebrai tulajdonságok levezetése Kifejezése Levi-Civita-szimbólumokkal:
Először a skalárszorzatot ábrázoljuk összegként:
majd a vektoriális szorzatot:
A totálisan antiszimmetrikus epszilontenzor egyenlő -vel, illetve megegyezik -vel. Így a vegyes szorzat:
A szummajelek felcserélésével és zárójelek ügyes beszúrásával:
A Levi-Civita-szimbólumokról áttérve a vektoriális szorzatra:
Ismételt vektoriális szorzás Ha egy vektoriális szorzatot megszorzunk még egy vektorral, akkor hármas vektoriális szorzatot kapunk.Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti , abgerufen am 2. Oktober 2020) A Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele szerint:Wolfram MathWorld: Vector Triple ProductD. M. Heffernan, S. Pouryahya, Maynooth University: Vector Triple Products
illetve
ahol a szorzópontok a skaláris szorzatot jelölik. A fizikában gyakran az
írásmódot használják, és gyakran BAC-CAB-formulának nevezik. Indexes írásmóddal:
.
ahol a Levi-Civita-szimbólum, és a Kronecker-delta. Ismételt vegyes szorzás Két vektorhármas, és ismételt vegyes szorzata
mivel a transzponálás nem változtatja meg a determinánst, másrészt a determinánsok szorzástétele miatt mátrixok szorzásakor a szorzatmátrix determinánsa a determinánsok szorzata. Ha a két vektorhármas megegyezik:
és így a Gram-determináns pozitív definit. Ahogy az egyszeres vegyes szorzatnál, úgy ennél is ez a determináns kritérium a tényezők lineáris függetlenségére. A determináns megadja a paralelepipedon térfogatának négyzetét. Ha egy lineáris transzformáció egy paralelepipedont egy másikra képez, akkor a Gram-determináns megadja, hogy hányszorosára változott a térfogatuk. A Gram-determinánsos kifejezés előnye, hogy magasabb dimenziókra is általánosítható.
Az integrálszámítás térfogateleme A térfogati integrál térfogateleme függ az alkalmazott koordináta-rendszertől. Descartes-féle koordinátákban: . Egy másik koordináta-rendszerben, ahol a koordináták , a helyi bázisvektorok vegyes szorzataként számítható. Az és bázisvektorok az adott pontban a koordinátavonalak érintővektorai, melyek a következő koordinátatranszformációból adódnak:
az koordináták szerinti parciális deriváltjaként: . Egy bázisvektor koordinátái alkotják a Jacobi-mátrix egyik oszlopát. Így e három vektor vegyes szorzatát a funkcionáldetermináns adja meg.
A transzformációs tétel alapján a térfogatelem: . Példa: Gömbkoordináták Áttérés a gömbkoordinátákra:
így a helyi bázisvektorok a megfelelő pontokban:
Tehát a funkcionáldetermináns:
amiből adódik a térfogatelem: :
Jegyzetek
Források Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996,
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra Kategória:Koordinátageometria