A szám hétköznapi és matematikai fogalom, mennyiségek leírására használatos. Ha mást nem mondunk, számon általában természetes, valós, esetleg komplex számokat értünk. Szám az a fogalom, amellyel megszámlálható mennyiségek nagyságát fejezzük ki.
Szemléletes számfogalom
A legközismertebb számok a pozitív egészek {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; ...}, ezek alakultak ki legkorábban, amikor az ember elkezdte a dolgokat megszámolni. Az indiaiak nagy találmánya volt a 0, mely a semennyit jelöli. A helyiértékes számírás lehetetlen nélküle. Ezek együtt alkotják a természetes számok halmazát {0; 1; 2; 3; ...}. Jele (esetleg N). (A nullát megszokásból nem mindig sorolják a természetes számok közé.)
A vagyon és adósság, illetve a bevétel és kiadás mérésére megalkothatóak a negatív és pozitív számok. Ezek a nullával együtt alkotják az egész számok halmazát. Jele (esetleg Z). Amennyiben a számegyenest kiterjesztjük a negatív számokra, a nulla a számegyenes részévé válik: -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3...stb.
A nagyobb mennyiségek részekre osztásával fokozatosan alakultak ki a törtszámok - az egyiptomi Óbirodalom, Babilon és más korabeli keleti államokban egyértelmű, írásos nyomai maradtaK a fogalomnak - továbbá a méréssel alakult ki a racionális számok fogalma. Az első irracionális számokat a pitagoreusok már ismerhették, még ha a fogalom az eredeti formájában nem is hasonlított a ma használatosra.
A racionális szám az egész számok hányadosaként felírható számokat jelenti. Jele (esetleg Q). A racionális számok felírhatóak egész számként, véges vagy szakaszos végtelen tizedestörtként.
Püthagorasz iskolájának nagy kudarca volt, hogy a négyzet átlóját nem tudták kifejezni az oldalhossz racionális számszorosaként. Ez pontosan az oldalhossz gyök kettőszöröse, amelyről belátható, hogy nem racionális szám. Ezek az irracionális számok. Jelük . Az irracionális számok nem szakaszos végtelen tizedestört alakban írhatóak fel. A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. Jele (esetleg R).
A komplex számokat a valós számok további bővítésével kapjuk. Ebben a számhalmazban már minden szám (négyzet)gyöke értelmezhető. A komplex számok a reneszánsz kor idején a harmadfokú egyenlet megoldásakor jutottak először szerephez, mivel képlet készíthető a megoldásukhoz, de komplex számok nélkül nem számolható ki az eredmény valós gyökök esetén sem. A komplex számoknak a tudomány számos területén komoly szerep jut. Jelük (esetleg C).
Számhalmazok
300px|thumb|A valós számok a nevezetesebb állandókkal Bár a számtartományok tetszőleges mértékig bővíthetők az alkalmazott módszerrel, a kvaternióknál bővebb számhalmazokat ritkán alkalmazzuk. A számhalmazok egyre bővülő sorrendben szabályos jelöléssel:
természetes számok; egész számok; racionális számok; valós számok; komplex számok; kvaterniók
Ezek a jelölések a következő szavakból jönnek:
természetes (naturales), egész(Zahlen), racionális (quotientis = hányadosok), valós (real, Reelen), komplex (complex), kvaternió (Hamilton, a felfedezőjük)
Szokásos még ezek nullánál nagyobb vagy kisebb számokat tartalmazó részhalmazainak jelölésére indexes jelöléseket alkalmazni:
ℕ+, ℤ+, ℚ+, ℝ+ ℕ-, ℤ-, ℚ-, ℝ- ℕ0+, ℤ0+, ℚ0+, ℝ0+
A komplex számokon belül nem lehet a megszokott módon negatív, illetve pozitív számokat értelmezni (be lehet vezetni a fogalmat, de nem lesz kompatibilis a valós számokra már ismert fogalmakkal), ezért ezeket a jelöléseket eme halmazra nem alkalmazzuk.
A prímszámok halmazának jelölésére szokásos még: ℙ.
+ A különböző kultúrák számjegyeinek írásaEurópai (a nyugati arabból származik)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Ind–arab٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩Keleti ind–arab (perzsa és urdu)۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹Dévanágari (hindi)० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९Tamil ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
A számfogalom kiterjesztései és fogalmi fejlődése
Az elemi algebra a matematikának az a része, amelynek határai között mozogva az emberi gondolkodás történelmileg, mégpedig az emberiség eddigi történetének, mondhatni aránytalanul legnagyobb részében, eljutott a legegyszerűbbnek és legkisebbnek mondható struktúrától, a pozitív egész számoktól kezdve az egészeken, a pozitív racionálisakon, a racionális és irracionális számokon keresztül a valós számokig, majd a komplex számokig és ezek különféle lineáris algebrai jellegű kiterjesztéseihez, a kvaterniókhoz, vektor- és mátrix-algebrákhoz („többdimenziós” számok). A folyamat történetileg nem ilyen egyenes vonalú volt, csak nagyon nagy léptékben nézve. Az egész számokhoz tartozó nulla, azután a negatív számok például Európában később jelentek meg, mint a törtszámok és egyes irracionális számok (a törtszám fogalmát már az ókori Keleten, pl. az Egyiptomi óbirodalomban is ismerhették, az irracionális számok felismerése, ha elfogadása nem is, a Kr.e. VI. századba tehető). Egyes irracionális számokat már az ókori Hellaszban is felfedeztek, mai terminológiával fogalmazva a kettő négyzetgyöke irracionalitásának felfedezése a pitagoreusok által a matematika első dokumentált megalapozási válsága volt, és ezzel egy időben az 1-et bizonyos jelek szerint nem is tartották igazi számnak.
Ezzel egy párhuzamos folyamat is zajlott, az infinitezimális mennyiségek használata, ezek egyértelmű felismerése Európában Galileo Galilei korában és részben az említett tudós által kezdődött, habár bizonyos módszereket ezeknek a mennyiségeknek részben a kezelésére, de inkább a használatuk megkerülésére, már a hellenisztikus korban is felfedeztek (magát a végtelen fogalmát a poszt-pitagoreus Hellaszban is felfedezték, Arisztotelész explicite is említi, sőt már tipizálja is a fogalmat). Amikor Isaac Newton jóval Galilei után komolyan alkalmazni kezdte a végtelen kis mennyiségeket, hamar kiderült, hogy a módszer - habár addig soha nem látott mennyiségben és minőségben képes eredményeket szolgáltatni a fizikai alkalmazások számára - igazából teljesen ellentmondásos és a komolytalan megalapozás miatt komoly tudományos kritikák érték mind Newtont, mind az eljárásait és az általa alkotott fogalmakat. A viták túlzás nélkül forradalminak nevezhető megújulási mozgalmakat indítottak el a matematika területén, ez az 1800-as évek végén tetőzött („a szigorúság forradalma”), és egy időre kihajították az infinitezimálisok gondolatát a matematikából. A huszadik század második felében azonban sikerült több komoly, működő, sőt valószínűleg hasznos modellt találni, amelyben a végtelen kicsi és nagy mennyiségek szigorúan definiálhatóak és alkalmazhatóak, ilyen pl. az A. Robinson által felfedezett nemsztenderd analízis, amely a imatematika logikából nőtt ki, illetve a J. Conway és tsa. által felfedezett „szürreális” v. szuperreális számok, amely ráadásul képes összekötni Newton infinitezimális mennyiségeit Cantor végtelen nagy számokat megszámláló rendszám-algebrájával.
Később, nagyjából az 1800-as évektől kezdve indult el az egész számok általánosításaként felfogható absztrakt, illetve kombinatorikus számelmélet kifejlődése, az olyan fogalmak, mint a számgyűrű-ideálok, integritástartományok, Gauss-egészek stb. megalkotásával, amely számoknak és ezzel analóg matematikai struktúráknak az egymás közti oszthatósági viszonyaival foglalkozik. Ez részben a nem algebrai egyenletek megoldásának elméletében, részben a matematika partikulárisabb ágaiban (approximációelmélet, geometriai és kombinatorikus számelmélet stb.) alkalmazható.
Egy másik viszonylag késői folyamat, Európában az 1800-as évek közepétől kezdődött, amelynek során egy másfajta értelemben végtelen mennyiségek tanulmányozása is kifejlődött, ezek a számosságok és más transzfinit mennyiségek, a véges és végtelen halmazok és struktúrák elemszámainak megnevezésére bevezetett szimbólumok és ezek viszonyainak tana.
Fizika Az atomóra, amely az idő mérésére szolgál, előjeltelen egészeket értelmez. Ugyanis az atomóra számláló, amely a gerjesztett cézium-atommagok becsapódását számlálja.
Az Avogadró állandó előjeltelen egész (nemnegatív természetes szám), ugyanis az egységnyi anyagmennyiségben jelenlévő részecskék megszámlálásán alapul, és itt a nulla értelmezhetelen.
A megszámlálható mennyiségek jele N, mértékegység jele 1, ezt azonban nem kell kiírni. Dimenziója 1 (egydimenziójú mennyiségek). A rádioaktív forrás aktivitása 1-per-másodperc, mértékegysége tehát
Kapcsolódó szócikkek
Mennyiség Számtartományok A számírás története Szürreális számok
További információk
Számok különböző nyelveken What's special about this number? A szám fogalma (angol) Mezopotámiai és német számok Do Numbers exist? Alex O'Connor vlogger és Marcus du Sautoy matematikus - író beszélgetése (YouTube]