bélyegkép|jobbra| bélyegkép|jobbra|A tétel egyik bizonyítása.
A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tételeA filozófus nevének szabatosan átírt formája ugyan Püthagorasz lenne, ebben a kifejezésben azonban már így honosodott meg, így magyarosodott (lásd még euklideszi geometria Eukleidész nevéből). az euklideszi geometria egyik alapvető állítása. A párhuzamossági posztulátum mellett az euklideszi geometria egyik központi tétele, nem-euklideszi rendszerekben (mint pl. a Minkowski-geometria) nem is feltétlenül érvényes. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt,Oxford Reference:
Certainly Pythagoras’ Theorem and Pythagorean triples were known to Babylonian and Indian mathematicians centuries... és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.
A tétel Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. Tehát: ha egy háromszög derékszögű, akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő.
A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): .
A Pitagorasz-tétel másik megfogalmazása: Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével.
A megfordítása is teljesül:
Ha egy háromszögnek meg lehet jelölni úgy, hogy , és , és , akkor a háromszög derékszögű, melynek befogói és , átfogója pedig . Alkalmazások Oldalhosszak A Pitagorasz-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy az átfogó hossza a befogók négyzetének összegének a négyzetgyöke: .
Egy-egy befogó is kiszámítható:
A derékszögű háromszögben az átfogó a leghosszabb oldal. ez adódik a Pitagorasz-tételből, de abból is, hogy nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és a derékszögű háromszögben a derékszög a legnagyobb szög. A háromszög szögösszege 180 fok, ebből 90 fok a derékszög, a másik két szögre marad 90 fok, és ennek a két szögnek pozitívnak kell lennie, tehát nem lehetséges egy második derékszög a háromszögben. Reciprok hosszak thumb|hochkant=2.1 |Bizonyítás a háromszögek hasonlóságával: a reciprok Pitagorasz-tétel. Az háromszög területe Közvetlen következményként adódik a reciprok Pitagorasz-tétel:
Ha a befogók hossza és , és az átfogóhoz tartozó magasság az derékszögű háromszögben, akkor az , és az háromszöghöz hasonló háromszöget határoz meg.
.
Az háromszög derékszögűsége miatt területe vagy .
Mindkét oldalt osztva -tel, és helyére behelyettesítve, hogy , a következő ekvivalens átalakításokat kapjuk: Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, , S. 46. Pitagoraszi hármasok thumb|200px|jobbra|hochkant=1|A legkisebb pitagoraszi számhármas által alkotott derékszögű háromszög Az egyenletet teljesítő hármasok közül végtelen sok van, melyekben mindhárom szám egész. Ezeket a hármasokat pitagoraszi számhármasoknak nevezzük. A legkisebb ilyen hármas a , és .
A nagy Fermat-tétel szerint, ha természetes szám, akkor az egyenlet nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. Egyszerű megfogalmazása ellenére 300 évig bizonyítatlan maradt; csak 1995-ben bizonyította Andrew John Wiles magasabb matematikai eszközökkel nagyon bonyolult módon.
A nagy Fermat-tétel azért is megdöbbentő eredmény, mivel esetén végtelen sok megoldás van. Euklidészi távolság A Pitagorasz-tétel megad egy módszert arra, hogy kiszámoljuk két pont távolságát egy Descartes-féle koordináta-rendszerben. Adva legyenek az és pontok a koordinátasíkon, ekkor távolságuk számítható, mint:
Ez kihasználja, hogy a koordinátatengelyek merőlegesek egymásra. A képlet kiterjeszthető magasabb dimenziókra is, és így adja az euklideszi távolságot. Például három dimenzióban:
.
Ez megfelel a pontok által definiált vektor hosszának.
Axiomatizálás Mivel a tétel csak Euklidész első négy axiomáját használja ki, ezért az ötödik axióma helyettesíthető vele. Ekkor a párhuzamosság egyértelműségét lehet a lel bizonyítani.
A tétel bizonyításai
A tételnek, mivel központi jelentőségű az euklideszi geometriában, több száz bizonyítása van. Elisha Scott Loomis 1927-ben megjelent könyvében 371 bizonyítást mutat be.Elisha S.Loomis: The Pythagorean Proposition, Cleveland 1927, 2. Auflage 1940, Nachdruck: The National Council of Teachers of Mathematics, Washington D. C. 1968. A könyv második kiadása 367 bizonyítást listáz. A számbeli eltérés tulajdonítható a következetlen számozásnak, a bizonyítások változatainak, illetve a hibás, körkörösen érvelő bizonyításoknak.Hidden harmonies. The Live and Times of the Pythagorean Theorem, Bloomsbury Press, 2011, Kapitel 5. Mario GerwigGerwig, Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen, Springer Spektrum 2021. átdolgozása ezt javítja, ahol is 360 bizonyítás származik Loomis könyvéből, megmutatva, hogy a hibás bizonyításokban hol a hiba.
Itt ezek közül mutatunk be néhányat. A bizonyítások két csoportba sorolhatóak: a geometriai és az algebrai jellegűek közé. A geometriai bizonyítások jellemzően területátalakításokat használnak ki, míg az algebraiak, még ha geometriai megfontolásokból indulnak is ki, kifejezésekkel operálnak.
Geometriai bizonyítások
Hindu bizonyítás
A tétel jelen bizonyítását először Bhászkara hindu matematikus írta le, ezért is nevezik hindu bizonyításnak. A legtöbb igazoláshoz hasonlóan területátalakítást végez el, így geometriai módszernek tekintjük.
középre|A Pitagorasz-tétel szemléletes bizonyítása
A fenti képről leolvasható a tétel bizonyítása. Mindkét nagy négyzet egyenlő területű, tehát ha mindkét oldalon elhagyjuk az azonos területű 4-4 háromszöget, akkor a maradék területének is egyeznie kell. Bal oldalt két, jobb oldalt egy négyzet marad, amelyek területe az egyenlet bal, illetve jobb oldalát adják.
Felhasználtuk, hogy a háromszögek területe egyezik, mivel két oldaluk (a és b) illetve az általuk közbezárt szögek megegyeznek. a jobb oldalon lévő rombusz (minden oldala c) négyzet, mivel minden szöge 90° (180°-(α+β), ahol α, β az ábrán lévő derékszögű háromszögek hegyesszögei), tehát szögei megegyeznek, tehát derékszögek.
Ez a bizonyítás Pitagorasz tételét és nem annak megfordítását bizonyítja.
Arab bizonyítás
Helyezzük egymás mellé az a és a b oldalú négyzeteket úgy, hogy egy oldaluk egymáson feküdjön, másik oldaluk pedig egy egyenesen legyen (lásd az animált ábrát a jobb oldalon). Így kapjuk az ABGHIF hatszöget. Az AB oldalon vegyük fel a J pontot úgy, hogy FJ=JG=c legyen. Ekkor
Ha ezeket a háromszögeket az FI, illetve a GH oldalra másoljuk, kapjuk a JGLF négyzetet. Ennek oldalhossza c.
Az eredeti két négyzet területe tehát egyenlő a mpst kapott négyzetével, ami a tétel állítása. QED
A tétel ilyen módon való bizonyításával (illetve egy ehhez nagyon hasonlóval) Tábit ibn Kurra kéziratában találkozni először, ezért is nevezik arab bizonyításnak. A kiinduló síkidom alakja okán germán nyelvterületen a „Stuhl der Braut“, azaz menyasszony széke néven is ismert.
A bizonyítás előnye, hogy kis helyet igényel, és meglehetős gyorsasággal konkrét esetben meg is szerkeszthető, ezért didaktikai okokból jobb választás lenne a hindu bizonyításnál. Eukleidész bizonyításai thumb|hochkant=1.4|Eukleidész bizonyítása: a sraffozott háromszögek egybevágók, az azonosan színezett négyszögek területe megegyező Ezt a bizonyítást Eukleidész Elemek című könyve tartalmazza (47. állítás),Euclids Elements, Book 1, Proposition 47, David Joyce. ahol is a befogótételből következik. Ezt egybevágó háromszögekkel látja be. Nem használja az arányosságot, melyet az 5. könyvben vezet be, hanem csak az első kötetben használt tételekre épít, és konstruktív természetű.
Legyen derékszögű háromszög, derékszöggel a csúcsnál. Jelölje és a befogókra emelt négyzeteket, és legyen a -hez tartozó magasság talppontja az oldalon. Ekkor és téglalapot alkotnak az átfogón, melyek hosszabb oldala, hossza megegyezik az átfogó hosszával. Ekkor az és a két egyenlő oldal és a közrezárt szög egyenlősége miatt egybevágó. Ez azért van, mivel , és . Emellett az háromszög területe fele az téglalap területének, hiszen az háromszög átfogója és a téglalap oldala egyenlő hosszú, illetve a -hez tartozó magasság ugyanakkora, mint a téglalap másik oldala. Hasonlóan belátható, hogy az háromszög területe az négyzet fele. Az háromszög és az háromszög egybevágósága miatt az négyzet területe megegyezik az téglalappal. Hasonlóan megmutatható, hogy az és háromszögek egybevágók, és ebből következően az négyzet területe egyenlő az téglalappal. Ezzel bebizonyítottuk a befogótételt.
Innen azonnal következik a Pitagorasz-tétel, mivel az átfogóra emelt négyzet az és téglalapok egyesítése.
A 6. könyvben (31. állítás) Eukleidész még egyszer bebizonyítja a Pitagorasz-tételt.Euclids Elements, Book 6, Proposition 31, David Joyce. Itt négyzetek helyett hasonló háromszögeket használ, és felhasználja az arányosságot is, melyet csak Knidoszi Eudoxosz bizonyított be. Maga Pitagorasz valószínűleg egyik bizonyítást sem ismerhette, mivel ahhoz fejlettebb geometriára lett volna szüksége.Eli Maor: The Pythagorean Theorem. Princeton University Press 2007, S. 42. Proklosz kommentárjában a bizonyításokat egyértelműen Eukleidésznek tulajdonítja, és mindkettőt nagyra tartja.
Az 1. könyv 48., utolsó állításaként a Pitagorasz-tétel megfordítását is belátja, ahol megmutatja, hogy az átfogóra emelt négyzet területe és a befogókra emelt négyzetek területének összegének megegyezése esetén a háromszög egyik szöge derékszög.Elemente, Buch 1, Proposition 48, David Joyce.
Az első bizonyítást angol nyelvterületen szélmalomnak (windmill) is nevezik, az ábra segédvonalai miatt.John C. Sparks: The Pythagorean Theorem. Crown Jewel of Mathematics, AuthorHouse, Bloomington, Indiana 2008, S. 36.Maor, The Pythagorean Theorem, Princeton UP, 2007, S. 45. Arthur Schopenhauer az első bizonyítást vette alapul, mint példát az önkényes és kevéssé átlátható eljárásra.Schopenhauer, Die Welt als Wille und Vorstellung, Band 1, in Julius Frauenstädt (Hrsg.), Schopenhauers Sämtliche Werke, Band 2, Brockhaus, 2. Auflage 1877, S. 84. Felix Klein válaszában különösen látványosnak nevezte és ezt be is mutatta Elementarmathematik vom höheren Standpunkt című könyvében.Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, Band 2, Springer 1925, S. 258. Bizonyítás parkettázással mini|180px|2. ábra mini|235px|1. ábra A teljes sík parkettázható két különböző területű négyzettel. A zöld négyzetek területe , a sárga négyzetek területe , és a pirossal keretezett négyzetek területe .
Mivel egyrészt a zöld és sárga négyzetekkel, másrészt a pirossal keretezett négyzetekkel a teljes sík parkettázható, azért teljesül, hogy .Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, , S. 29.
Az 1. ábra a befogónégyzetekkel való parkettázást (zöld és sárga négyzetekkel), illetve az átfogónégyzetekkel való parkettázást mutatja meg (pirossal keretezve). A 2. ábrán a parkettázás részlete szerepel, a Pitagorasz-alakzattá kiegészítve.
Algebrai bizonyítások
Bizonyítás befogótétellel Mivel a befogótételt lehet hasonlósággal is igazolni, ez a bizonyítás nem okoz körkörös érvelést.
A tétel szerint a derékszögű háromszög befogója az átfogó és az átfogóra eső merőleges vetület mértani közepe. Ha az a befogó vetületét x-szel, a b-ét c-x-szel jelöljük (c az átfogó), akkor
Bizonyítás hasonlósággal thumb|Az , és háromszögek hasonlósága