A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.
Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.
Euler képlete bélyegkép|jobbra|Kihajló rúd
Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete: , ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az Ft törőerő és az y kitérés szorzata: . Végül, ha bevezetjük az
jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz: . Ennek az egyenletnek az általános megoldása: , ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású, és , így és . Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha . Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk: . Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható: ,
ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.
600px
A gyakorlatban a törést okozó σt nyomófeszültséget szokás számolni: , ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható: , és bevezetve a , karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható: ,
Tetmajer képlete bélyegkép|350px|Törőfeszültség a karcsúság függvényében
A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σF folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σt diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:
,
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto" |+ 'Törőfeszültség számítása
! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | Anyag ! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | Szakítószilárdság MPa ! style="background:#efefef;" colspan="2" align=center | III. szakasz λ<λF ! style="background:#efefef;" colspan="2" align=center | II. szakasz λF <λ< λe ! style="background:#efefef;" rowspan="2" align=center | I. szakasz λ>λe σt MPa |- ! style="background:#efefef;" align="center"| σt = σF MPa ! style="background:#efefef;" align="center"| λf ! style="background:#efefef;" align="center"| σt = a - bλ MPa ! style="background:#efefef;" align="center"| λe
| rowspan="3" align=center |Szénacél | align=center | 370 | align=center | 240 | align=center | 60 | align=center | 308–1,14λ | align=center | 105 | align=center |
| align=center | 480 | align=center | 310 | align=center | 60 | align=center | 467–1,62λ | align=center | 100 | align=center |
| align=center | 520 | align=center | 360 | align=center | 60 | align=center | 589–3,82λ | align=center | 100 | align=center |
| align=center |Ötvözött acél | align=center | 650 | align=center | 420 | align=center | 22 | align=center | 470–2,30λ | align=center | 86 | align=center |
| align=center | Dúralumínium | align=center | 420 | align=center | – | align=center | 0 | align=center | 380–2,20λ | align=center | 50 | align=center |
| align=center | Öntöttvas | align=center | – | align=center | – | align=center | 5 | align=center | 776–12λ+0,053λ² | align=center | 80 | align=center |
| align=center | Fenyőfa | align=center | – | align=center | – | align=center | 0 | align=center | 30–0,2λ | align=center | 100 | align=center |
| align=center | Tölgyfa | align=center | – | align=center | – | align=center | 0 | align=center | 37,5–0,25λ | align=center | 100 | align=center |
Források Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve'' 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
Külső hivatkozások Agárdy Gyula-Lublói László: Mechanika II.
Kategória:Rugalmasságtan