Questo glossario sui polinomi comprendere termini e concetti relativi a queste entità che rivestono grande importanza per svariati sviluppi della matematica e delle sue applicazioni.
Nel titolo e nel testo delle voci, per “polinomio” si intende, se non altrimenti specificato, un polinomio algebrico in una sola variabile
A Abel (polinomi di) I polinomi di Abel costituiscono una sequenza polinomiale aventi la forma con n naturale. Costituiscono una sequenza polinomiale di tipo binomiale definita tramite la formula ricorsiva:
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Algebrico (polinomio) Si chiama polinomio algebrico nelle variabili x1, x2, x3,….., xk, una combinazione lineare di potenze intere delle variabili suddette. In particolare un polinomio algebrico di grado (o ordine) n nella sola variabile x è rappresentabile con
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Anello dei polinomi L'insieme dei polinomi con coefficienti in un campo (per esempio quello dei numeri reali o dei complessi ) ha la struttura algebrica di anello. È dotato di una somma e di una moltiplicazione tali che: la somma di due polinomi è un polinomio che ha per componenti (monomi) la somma dei monomi simili dei polinomi addendi; il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui componenti si ottengono moltiplicando ogni monomio del primo con ogni monomio del secondo; l'elemento neutro dell'addizione è il polinomio 0 (composto solo da zeri), e quello della moltiplicazione è il polinomio 1 (costante uno); l'inverso additivo di un polinomio è quello che ha gli stessi monomi del polinomio dato, ma col segno opposto [indice]
B Bell (polinomi di) Polinomi in più variabili che hanno applicazioni nell'analisi combinatoria: i coefficienti di questi polinomi forniscono il numero di partizioni in cui un insieme di n elementi può essere suddiviso in due o più parti. Per esempio il polinomio di Bell B6,2(x1, x2, x3, x4, x5) fornisce il numero partizioni in cui un insieme di 6 elementi può essere diviso in due gruppi. Siccome
significa che un insieme di 6 elementi può essere suddiviso in 6 modi diversi (coefficiente di ) in due parti rispettivamente di 5 e 1 elementi, oppure in 15 modi diversi in due parti rispettivamente di 4 e 2 elementi, oppure in 10 modi diversi in due gruppi di 3 elementi ciascuno.
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Bernoulli (polinomi di) I polinomi di Bernoulli sono definiti in modo iterativo e consentono di calcolare la somma delle k-esime potenze dei primi n interi, note le somme delle precedenti (k-1)-esime potenze degli stessi numeri. Utilizzati nello studio della funzione zeta di Riemann e di altre funzioni speciali, sono strettamente legati ai numeri di Bernoulli. [indice]
Binomio Polinomio costituito da due monomi (ovvero è la somma algebrica di due monomi) [indice]
Binomio di Newton Sinonimo di Teorema binomiale [indice]
C Calcolo umbrale Con il termine calcolo umbrale si indica una notazione che permette di trattare identità su successioni numeriche considerando gli indici dei componenti come se fossero esponenti. Questo metodo, anche se privo di completi e rigorosi fondamenti, si rivela spesso efficace. Attualmente il calcolo umbrale viene principalmente utilizzato per lo studio delle sequenze di Sheffer [indice]
Campo di spezzamento di un polinomio Campo nel quale il polinomio possa essere fattorizzato in binomi di primo grado [indice]
Campo di riducibilità completa Sinonimo di Campo di spezzamento
Caratteristico (polinomio) Il polinomio caratteristico di una matrice rispetto ad una variabile x è il determinante della matrice ottenuta sottraendo alla matrice data il prodotto fra lo scalare x e la matrice identità: pA(x) = det (A - xI) , dove A è la matrice data e I è la matrice identità. Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori della matrice associata [indice]
Chebyshev (o Čebyšëv) (polinomi di) I polinomi di Chebyshev nella variabile x, costituiscono una sequenza polinomiale definita tramite la formula ricorsiva con e . Costituiscono le soluzioni polinomiali di una equazione differenziale [indice]
Ciclotomici (polinomi) I polinomi ciclotomici nella variabile x, costituiscono una sequenza polinomiale. Ln-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio formato dalle radici n-esime primitive dell'unità. Le radici primitive dell'unità sono quelle che generano l'intero gruppo delle radici n-esime dell'unità, ovvero sono quelle che, se m < n, si ha xm ≠ 1 mentre, ovviamente, xn = 1 [indice]
Coefficiente binomiale Il coefficiente binomiale è una funzione a due variabili intere n > 0 e 0 ≤ k ≤ n , definita come
(dove n! è il fattoriale di n). Il coefficiente binomiale può essere calcolato anche col triangolo di Tartaglia. Ha importanza per i polinomi in quanto lo sviluppo delle potenze dei binomi può essere espresso mediante i coefficienti binomiali (vedere il teorema binomiale) [indice]
Coefficiente binomiale simmetrico Funzione a due variabili intere positive, simmetrica nei suoi argomenti. È una variante del coefficiente binomiale, tanto che può essere espressa come
È una funzione capace di enumerare configurazioni discrete equivalenti di un sistema [indice]
Coefficienti di un polinomio Valori costanti (numeri) dei singoli monomi. Ogni monomio ha un solo coefficiente. Il coefficiente del monomio di grado massimo prende il nome di coefficiente direttore, mentre quello del monomio di grado zero prende il nome di termine noto [indice]
Completo (polinomio) Polinomio in una sola variabile in cui i coefficienti sono tutti diversi da zero [indice]
Congruenze polinomiali Estensione ai polinomi del concetto di congruenza modulo n definita sui numeri reali. Due polinomi P(x) e Q(x) nella variabile intera x , si dicono congrui modulo n, dove n è un intero positivo, se per ogni valore di x, intero, assumono valori congrui mod n, vale a dire che P(x) – Q(x) 0 mod n. Due numeri sono congrui mod n se e solo se divisi per n hanno lo stesso resto [indice]
Conica (curva o funzione) Curva piana esprimibile mediante un polinomio di 2° grado. Il nome deriva dal fatto che queste curve (circonferenza, ellisse, parabola. iperbole) si ottengono sezionando la superficie di un cono con un piano [indice]
Contenuto Il contenuto di un polinomio è il massimo comune divisore dei suoi coefficienti [indice]
Criterio di Eisenstein È un criterio per dimostrare l'irriducibilità dei polinomi primitivi a coefficienti interi [indice]
Criterio di Routh-Hurwitz Criterio per determinare il numero di radici con parte reale positiva di un polinomio in una variabile con radici complesse. È una generalizzazione della regola di Cartesio (applicabile solo ai polinomi con radici reali). Il criterio prevede l'utilizzo di matrici e determinanti [indice]
Cubica (curva o funzione) Curva piana esprimibile mediante un polinomio di 3° grado della forma
D Decomposizione in frazioni parziali Tecnica di calcolo che permette di trasformare il rapporto tra due polinomi P(x) e Q(x), di cui ‘'P’' abbia grado inferiore di ‘'Q’', nella somma di più rapporti di polinomi di grado inferiore a quelli dati [indice]
Diofanteo (polinomio) Polinomio in cui tutti i coefficienti e tutte le variabili sono numeri interi. Polinomi diofantei in più variabili potrebbero non avere radici (intere) come per esempio quando (ultimo teorema di Fermat) [indice]
Disequazione algebrica Disequazione, ovvero relazione d'ordine di disuguaglianza fra due polinomi ad una o più incognite e ricerca dei valori (generalmente intervalli) delle incognite che soddisfano questa relazione. Una disequazione fra due polinomi può sempre essere trasformata in una disequazione di cui uno dei due polinomi (membri della disequazione) è uguale a 0 . Sotto questa forma la disequazione si dice: lineare se il polinomio non nullo è di grado ‘'1’'; quadratica se è di grado "2; cubica se è di grado "3" [indice]
Disequazione fratta Disequazione, ovvero relazione d'ordine di disuguaglianza in cui almeno una delle incognite compare nel denominatore di almeno una frazione. Una disequazione fratta può sempre ricondursi ad un sistema di disequazioni algebriche polinomiali, purché numeratori e denominatori delle frazioni date siano a loro volta dei polinomi algebrici [indice]
Divisione di polinomi Due polinomi A(x) e B(x) nella variabile x, di cui il primo abbia grado maggiore o uguale al secondo, possono essere divisi fra di loro per ottenere un polinomio quoziente Q(x) e un polinomio resto R(x) per i quali vale la relazione A(x) = B(x)Q(x) + R(x) (il grado di quest'ultimo è inferiore a quello del polinomio divisore). La regola di Ruffini per dividere polinomi è applicabile solo se il denominatore è un binomio. Se i polinomi hanno i coefficienti appartenenti ad un campo (per esempio numeri reali o complessi), quoziente e resto sono unici per ogni coppia di polinomi [indice]
E Equazione algebrica Una equazione è una uguaglianza fra due espressioni matematiche verificata per particolari valori di una i più quantità variabili dette incognite. Se le due espressioni messe a confronto sono polinomi algebrici, l'equazione si dice algebrica. Un'equazione algebrica si può sempre riportare al caso in cui uno dei due polinomi di confronto sia il polinomio nullo (zero). Il grado di una equazione algebrica è il grado del polinomio non nullo, considerato solo nelle incognite (quindi escluse altre variabili o parametri) [indice]
Esponenziali (polinomi) Sinonimo di polinomi di Touchard
F Fibonacci (polinomi di) I polinomi di Fibonacci costituiscono una sequenza polinomiale definita ricorsivamente in modo analogo alla definizione dell'omonima successione: ;
se n > 2 [indice]
Formula di Newton Sinonimo di Teorema binomiale [indice]
Funzione lineare Funzione di una variabile espressa mediante un polinomio di 1° grado. In geometria analitica rappresenta una retta [indice]
Formule di Viète Formule che mettono in relazione le radici di un polinomio in una variabile e i suoi coefficienti. Per esempio in un polinomio di 2º grado , la formula di Viète mette in relazione le radici e dell'equazione e i coefficienti a, b, c:
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Funzioni polinomiali Funzioni matematiche esprimibili tramite un polinomio in una o più variabili. Per esempio la funzione polinomiale rappresenta una retta, rappresenta un piano [indice]
G Gegenbauer (polinomi di) I polinomi di Gegenbuauer (detti anche polinomi ultrasferici) sono le soluzioni delle equazioni differenziali di Gegenbauer (equazioni differenziali del secondo ordine). Sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre e costituiscono una sequenza polinomiale di polinomi ortogonali [indice]
Grado di un monomio Il grado di un monomio è la somma degli esponenti dei suoi elementi simbolici (variabili). Un monomio costante (costituito solo da un numero) è di grado zero. Per es. il monomio è di grado 7. [indice]
Grado di un polinomio Il grado di un polinomio è pari al grado del suo monomio di massimo grado. Per es. il polinomio è di grado 8. [indice]
H Hermite (polinomi di) I polinomi di Hermite costituiscono una sequenza polinomiale in cui ln-esimo polinomio (di grado n) è definito tramite una funzione esponenziale e la sua derivata n-esima. Fra i loro utilizzi spicca il calcolo delle probabilità [indice]
Hurwitz (polinomio di) Polinomio in cui tutte le radici sono numeri complessi aventi parte reale negativa. Per essere di Hurwitz, è necessario, ma non sufficiente, che tutti i coefficienti del polinomio siano positivi; viceversa, siccome tutte le radici del polinomio si trovano nella parte sinistra del piano complesso, per essere di Hurwitz è necessario e sufficiente che il polinomio soddisfi il criterio di Routh-Hurwitz
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I Identità di Newton Le identità di Newton rappresentano un metodo per descrivere le radici di un polinomio.. Sono formule ricorrenti basate sugli autovalori di una matrice a sua volta legata al polinomio caratteristico [indice]
Invertibile (polinomio)