In matematica, una struttura algebrica è un insieme (chiamato insieme sostegno della struttura) munito di una o più operazioni, ciascuna con la propria arietà (nullaria, unaria, binaria, ecc.) e caratterizzata dal poter avere proprietà quali commutatività, associatività e distributività. Nella pratica della matematica (e in particolare nell'algebra, nella combinatoria e nella geometria) e in alcune sue applicazioni (fisica, chimica, informatica, ecc.) si utilizzano svariate strutture algebriche. Risulta pertanto utile studiare le strutture algebriche con sistematicità, classificarne i diversi tipi e chiarire le relazioni che le collegano.
In linea generale, un insieme sostegno può essere munito di diverse operazioni e, per individuare una struttura algebrica senza incorrere in possibili ambiguità, vanno specificate tutte le sue operazioni. Per esempio, per specificare la struttura ordinaria di gruppo additivo sull'insieme dei numeri interi, si può ricorrere alla notazione , ove è la somma usuale, è lo zero come operazione nullaria, e indica l'operazione unaria che a un intero associa il suo opposto. Nella pratica però le operazioni sono spesso sottintese, e si parla semplicemente del gruppo additivo .
Tipi di strutture algebriche
Strutture simili ai gruppi
Magma Quasigruppo Loop Left loop Semigruppo Monoide Gruppoide Gruppo Gruppo abeliano Gruppo di Coxeter
Strutture simili ai reticoli
Reticolo Semireticolo Algebra di Boole Algebra di Heyting
Strutture simili agli anelli
Semianello Pseudoanello Quasi-anello Anello Anello commutativo Dominio d'integrità Dominio euclideo Corpo Campo
Strutture simili agli spazi vettoriali
Modulo Spazio vettoriale Spazio affine
Strutture simili alle algebre
Algebra su campo, richiamata anche con Algebra Algebra graduata Algebra di Lie Algebra di Jordan Algebra di Clifford Bialgebra Algebra di Hopf
Sottostrutture, morfismi e composizioni Con sottostruttura si intende un sottoinsieme di una struttura algebrica chiuso rispetto alle operazioni della struttura. Con le operazioni indotte, una sottostruttura può essere considerata una struttura algebrica a sé stante della stessa specie di quella di partenza (o di una sua sottospecie particolare).
A ogni specie di struttura algebrica sono associate particolari funzioni, gli omomorfismi, che preservano le operazioni delle strutture.
Due strutture della stessa specie possono essere composte per dare una struttura più complessa della stessa specie: lo studio di queste composizioni, che tipicamente hanno come sostegno il prodotto cartesiano dei sostegni delle strutture sottoposte a composizione, costituisce il primo passo per la classificazione delle strutture di una specie.
Le proprietà generali delle strutture algebriche collegate ai loro omomorfismi sono studiate come caso particolare nella teoria delle categorie.
Bibliografia
Voci correlate Struttura relazionale Struttura (matematica) Teoria delle categorie
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