Cresciuto in Russia nel MVD, Barbašev si è subito trasferito in Canada dopo essere stato ingaggiato dai Moncton Wildcats della CHL nel 2012. Considerato come uno dei prospetti più promettenti, Barbašev è stato selezionato dai St. Louis Blues nel Draft NHL 2014 con la 33ª scelta assoluta. Con i Blues ha disputato più di sei stagioni riuscendo a vincere la Stanley Cup nel 2019 (la prima nella storia della franchigia di St. Louis). Ceduto ai Vegas Golden Knights nel 2023, al suo primo anno con la sua nuova squadra Barbašev ha vinto la sua seconda Stanley Cup.
Con la nazionale russa Under-17, Barbašev ha vinto il prestigioso World Under-17 Hockey Challenge nel 2012 disputato in Canada.
Palmarès
Nazionale
World U17 Hockey Challenge 1 oro (Canada 2012)
World Junior Championships 1 argento (Canada 2015) 1 bronzo (Svezia 2014)
Club
NHL 2 Stanley Cup St. Louis Blues (2019) Vegas Golden Knights (2023)
Individuale
QMJHL All-Rookie Team (2013)
Note
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