In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:

Si hanno soluzioni per questa equazione solo per

n = 3, 4, 5, 7 e 15 .

che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve NagellT. Nagell, The diophantine equation x2 + 7 = 2n, Arkiv matematik 4 (1960), 185–187..

Generalizzazioni

L'equazione

ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1

Bugeaud, Mignotte e SiksekY. Bugeaud, M. Mignotte and S. Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II: The Lebesgue-Nagell equation, Compositio Mathematica 142 (2006), 31–62 hanno risolto completamente l'equazione:

Herrmann, Luca e WalshE. Herrmann, F. Luca and P. G. Walsh, A note on the Ramanujan-Nagell equation, Publ. Math. Debrecen 64 (2004), no. 1-2, 21–30. hanno risolto:

Altri autori, tra cui BeukersF. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation I, Acta Arith. 38 (1980), 389–410. pdf, hanno studiato l'equazione:

con intero. Apéry R. Apéry, Sur une équation diophantienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264. dimostrò che, se e , vi sono al più due soluzioni. Browkin e SchinzelJ. Browkin, A. Schinzel, On the equation 2n-D=y2, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), pp.311-318. congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se oppure per qualche . SchinzelA. Schinzel, On two theorems of Gelfond and some of their applications, Acta Arith. 13 (1967), 177-236. dimostrò che, se non è della forma , l'equazione ha al massimo una sola soluzione con . La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.

Beukers ha anche consideratoF. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation II, Acta Arith. 39 (1981), 113–123. pdf l'ulteriore generalizzazione

con e primo dispari non divisore di , dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi ed .

Note

Bibliografia M. A. Bennett, M. Filaseta and O. Trifonov, Yet another generalization of the Ramanujan-Nagell equation, 2007. pdf

Collegamenti esterni

Ramanujan-Nagell, equazione di