In geometria, la podaria di un curva rispetto ad un punto detto polo è il luogo geometrico formato dalle proiezioni di sulle rette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle normali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche antipodaria.
Equazione della podaria
Siano date le equazioni parametriche della curva :
dove e sono due funzioni derivabili su un intervallo . La tangente di nel suo punto ha equazione
La proiezione di sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per :
Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:
Casi particolari
Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.
Podaria della circonferenza
La podaria di una circonferenza è la lumaca di Pascal.
Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e centro nel punto , di equazioni parametriche:
Possiamo limitarci a considerare i poli , posti sull'asse delle ascisse, con . Le equazioni della podaria sono allora:
I casi possibili sono:
è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa; è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava; è sulla circonferenza: la podaria è una cardioide; è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.
Podaria della parabola
Consideriamo la parabola di equazione ; le sue equazioni parametriche sono e ; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo che giace sull'asse della parabola:
Alcune podarie notevoli sono:
: il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse; : il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una cissoide di Diocle; : il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la trisettrice di Mac Laurin.
Voci correlate
Evoluta di una curva
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