In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è un caso particolare di matrice binaria quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con oppure con , dove è il numero di righe della matrice.
Proprietà La proprietà fondamentale di è che:
per ogni matrice e per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa. La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore della base canonica dello spazio euclideo . La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.
Notazioni Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:
Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:
Anello delle matrici Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici a valori in un campo fissato .
Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare formato da tutte le matrici invertibili a valori in .
Trasformazioni lineari Sia un campo. Ogni matrice quadrata induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale in sé, definita nel modo seguente:
La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.
Bibliografia Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972. Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962. Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.
Voci correlate Funzione identità Identità (matematica) Matrice quadrata Risoluzione all'identità
Collegamenti esterni
Identità