Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato, costituisce, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei tre problemi classici della geometria greca.
Questi tre problemi nacquero nel periodo classico della matematica greca (600 a.C. - 300 a.C.) e attraversarono tutta la storia della matematica.
Il problema della duplicazione del cubo è giunto a noi sotto forma di mito. La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III citata, settecento anni più tardi, dal commentatore Eutocio di Ascalona. Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo".
La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo, è dell'espositore Teone di Smirne. Egli, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.
I problemi classici, così come tutti i problemi della matematica, non risultano ben posti se non dopo che si sia precisato l'insieme degli strumenti assegnati per la loro risoluzione.
Impossibilità di duplicare il cubo usando solo riga e compasso Per dimostrare l'impossibilità di duplicare un cubo con il solo uso di riga e compasso occorre, innanzitutto, precisare cosa significhi effettuare una costruzione con riga e compasso.
Eseguire una costruzione con riga e compasso vuol dire, in parole povere, determinare oggetti geometrici, a partire da altri oggetti dati, utilizzando come unici strumenti la riga ed il compasso.
Va precisato che con “riga” non s'intende uno strumento per misurare o segnare distanze, ma soltanto un'asta rigida che permetta solo di tracciare delle rette: dunque si intende una riga non marcata.
I problemi di costruzione, e quindi il problema della duplicazione del cubo, sono stati accanitamente studiati per secoli e senza risultati; dopo un lungo tempo di tentativi infruttuosi, ha iniziato ad insinuarsi l'idea, tra i matematici, che tali problemi fossero irrisolvibili.
Per arrivare a studiare la risolubilità o meno dei problemi classici fu però necessario aspettare che venissero gettate le fondamenta per l'algebra moderna.
Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e compasso del numero . Per dimostrare l'impossibilità di tale costruzione occorre formalizzare, in termini algebrici, l'idea intuitiva di “costruzione con riga e compasso”.
Supponiamo che sia dato un insieme di punti nel piano euclideo e consideriamo due tipi di operazioni:
Operazione 1 (riga): tracciare una linea retta che colleghi due qualsiasi punti di Operazione 2 (compasso): disegnare una circonferenza il cui centro sia un punto di e il cui raggio sia uguale alla distanza tra due punti di Definizione 1: i punti di intersezione di due rette, due circonferenze, una retta e una circonferenza, tracciate con le operazioni 1 e 2, vengono detti costruibili in un solo passo da Definizione 2: un punto si dice costruibile da se esiste una successione finita di punti di tale che, per ogni il punto è costruibile in un solo passo dall'insieme
Esempio
Mostriamo come la costruzione standard di un punto medio di un dato segmento può essere realizzata con queste considerazioni.
Supponiamo di avere due punti dati e che sia
tracciare il segmento (operazione 1); tracciare il cerchio con centro e raggio (operazione 2); tracciare il cerchio con centro e raggio (operazione 2); individuare come i punti di intersezione di questi due cerchi; tracciare il segmento (operazione 1); individuare come l'intersezione tra i segmenti e Allora la successione definisce la costruzione del punto medio di e questo risulta costruibile da
Consideriamo ora il problema dal punto di vista della teoria dei campi.
A ogni passo della costruzione associamo il sottocampo di generato dalle coordinate dei punti costruiti.
Quindi sia il sottocampo di generato dalle coordinate e del punto in
Se ha coordinate allora, in maniera induttiva, definiamo il campo ottenuto da aggiungendo e così che sia:
Ovviamente si ha che
Lemma 1
Con le notazioni precedenti e sono zeri, in di un polinomio al più di secondo grado di
Dimostrazione
Le coordinate e del punto si ottengono intersecando due rette, due circonferenze oppure una retta e una circonferenza.
Dimostriamo il lemma nell'ultimo caso.
Siano i punti di coordinate in
Si tracci la retta e la circonferenza di centro e raggio dato che è la distanza tra due punti a coordinate in
L'equazione della retta è
e l'equazione della circonferenza è
Le coordinate dei punti di intersezione si ottengono risolvendo il sistema
Da qui si ricava
L'ascissa dei punti di intersezione e è lo zero di un polinomio di secondo grado in Lo stesso vale per l'ordinata.
Teorema 1
Se è costruibile da un sottoinsieme di e se è il sottocampo di generato dalle coordinate dei punti di allora i gradi di
e
sono potenze di .
Dimostrazione
Si ha che
se il polinomio di II grado di cui è uno zero è riducibile
se il polinomio di II grado di cui è uno zero è irriducibile
e, analogamente,
se il polinomio di II grado di cui è uno zero è riducibile
se il polinomio di II grado di cui è uno zero è irriducibile
Inoltre
Quindi è una potenza di .
E, per induzione, è una potenza di .
Ma, dato che, , segue che è una potenza di .
Similmente è una potenza di .
Teorema 2
Il cubo non può essere duplicato mediante l'uso di riga e compasso.
Dimostrazione
Consideriamo un cubo di spigolo unitario.
Sia e quindi, in questo caso è
Se il cubo fosse duplicabile, allora potremmo costruire un punto di coordinate tale che e quindi, per il teorema1, dovrebbe essere una potenza di .
Ma è zero del polinomio che è irriducibile su
Inoltre è il minimo polinomio di su e .
Ciò dimostra l'impossibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.
Soluzioni del problema Abbandonando il vincolo di utilizzare solo riga e compasso, il problema della duplicazione del cubo diventa risolubile e diverse sono le costruzioni possibili.
Riduzione di Ippocrate di Chio
Ippocrate di Chio, discepolo di Pitagora, vissuto tra il 460 a.C. e il 380 a.C., sembra sia stato il primo a risolvere il problema della duplicazione del cubo seguendo il metodo di riduzione. Tale metodo consiste nel trasformare un problema in un altro, risolto il quale resta risolto anche il problema primitivo.
Presso i Pitagorici era noto come inserire un segmento x medio proporzionale tra due segmenti dati e cioè, era noto come costruire segmenti che verificassero la proporzione
Non era nota, invece, l'estensione al caso dell'inserzione di due segmenti e medi proporzionali tra due segmenti dati, in modo che valga la proporzione
L'idea, attribuita ad Ippocrate di Chio, consiste nel ridurre il problema della duplicazione del cubo a quello della inserzione di due medie proporzionali fra due segmenti dati, problema che, con un linguaggio più moderno, si può così enunciare.
Dati due segmenti e costruirne altri due e che, con e presi come termini estremi, formino una catena di rapporti uguali, ovvero
Da questa catena di rapporti uguali deriva
da cui
Il segmento è quindi il lato di un cubo equivalente a un parallelepipedo rettangolo a base quadrata di spigolo e avente altezza . In particolare, se si scrive b = ma (m numero razionale), si ottiene:
cioè un cubo di spigolo equivalente a volte un cubo di spigolo Ponendo cioè si ottiene
si ricade nel problema della duplicazione del cubo poiché è il lato di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di lato
Con la scoperta attribuita ad Ippocrate di Chio, la difficoltà era soltanto cambiata di forma e non si era conseguito altro vantaggio che quello di presentare la questione primitiva come un problema di geometria piana.
Soluzione di Archita
Archita di Taranto, vissuto approssimativamente tra il 430 a.C. e il 360 a.C., fornì una soluzione tridimensionale del problema di Delo, che può essere oggi facilmente descritta utilizzando il linguaggio moderno della geometria analitica.
Sia il lato del cubo da duplicare e, relativamente a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine sia il centro di cerchi di raggio giacenti in piani perpendicolari agli assi.
Attraverso il cerchio di centro perpendicolare all'asse delle ascisse si costruisce un cono circolare retto avente il vertice nell'origine; attraverso il cerchio di centro che giace nel piano degli assi e si fa passare un cilindro; il cerchio che giace nel piano venga fatto ruotare attorno all'asse così da generare un toro.
Le equazioni di queste tre superfici sono, rispettivamente:
Esse si intersecano in un punto la cui ascissa è . Pertanto la lunghezza di questo segmento rappresenta il lato del cubo desiderato.
Il risultato ottenuto da Archita appare ancor più straordinario se teniamo conto che egli giunse alla sua soluzione per via sintetica, senza l'uso delle coordinate cartesiane.
Soluzioni di Menecmo
Menecmo fu allievo di Eudosso e visse nella metà del IV secolo a.C.; a lui si devono due diverse soluzioni del problema della duplicazione del cubo.
Prima soluzione
Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la soluzione si ottiene facilmente come intersezione di due parabole.
Si considerino due parabole, di equazioni
e
Dalla loro intersezione si ottiene
da cui, trascurando la soluzione si trova
e quindi
Intersecando le due parabole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume doppio del volume del cubo assegnato.
Seconda soluzione
Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la seconda soluzione si ottiene come intersezione di una parabola e una iperbole. Si considerino la parabola e l'iperbole, rispettivamente di equazioni:
Dalla loro intersezione si ottiene
e quindi
Intersecando la parabola e l'iperbole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume doppio del cubo assegnato.
Soluzione di Nicomede
Nicomede (250 a.C. – 180 a.C.) costruì una curva di quarto grado, da lui chiamata concoide per la somiglianza con una conchiglia, che gli permise di risolvere alcuni problemi di inserzione, tra cui quelli generati dal problema della duplicazione del cubo.
Per generare la concoide, si prenda una retta e un punto esterno a essa (retta e punto si chiamano, rispettivamente, base e polo della concoide) e sia la distanza tra il polo dalla base. Condotta per il polo una retta qualunque siano e due segmenti congruenti ad un segmento dato di lunghezza chiamata intervallo, situati da parti opposte rispetto alla base. Al variare di su il punto descrive la concoide. Vediamo come, mediante la concoide di Nicomede, si risolve il problema delle due medie proporzionali. Siano due segmenti perpendicolari dati, tra cui devono essere inseriti i medi proporzionali. Sia e per semplicità supponiamo