In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907H. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295.. Detto l'-esimo numero primo, essa afferma che
per . Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero con la seguente proprietà: se un numero naturale , con , è tale che il massimo comune divisore , allora è un numero primo.
Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:
per .
Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:
che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.
Miglioramenti e disuguaglianze analoghe
M. Dalezman dimostrò nel 2000M. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153 che
per .
J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74, tra cui:
per .
L. Pósa dimostrò nel 1960L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129. che, per ogni , esiste tale che:
per .
L. Panaitopol dimostrò nel 2000L. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35. che è sufficiente scegliere e, in particolare, dimostrò che:
dove è la funzione enumerativa dei primi.
Note
Bibliografia
Robert J. Betts, Using Bonse's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online. G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online . József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online
Bonse Categoria:Numeri primi