In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassi I primi polinomi sono:

Come integrale di contorno Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzati La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

allora

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo rispetto alla funzione peso :

Per valori interi di la precedente espressione di definizione si può scrivere

Relazione con i polinomi di Hermite I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

e

dove denota il polinomio di Hermite di grado

Relazione con la serie ipergeometrica I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

dove denota il simbolo di Pochhammer.

Bibliografia (capitolo 22).

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