right|250px In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema (indicato con )Il simbolo è molto diffuso nei testi di geometria delle scuole elementari e medie, ma data la coincidenza talvolta dell'apotema con l'inraggio può capitare che sia indicato con il simbolo di quest'ultimo, . è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati. Il rapporto tra apotema e lato è specifico (e fisso) per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati. Il suo utilizzo principale è nel calcolo delle aree, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l'altezza degli triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono.
Analogamente, nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, la distanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.
Nei poligoni regolari thumb|Apotema in un ottagono In ogni poligono regolare con lati l'area totale può essere divisa in triangoli isosceli congruenti, le cui basi coincidono con i lati del poligono stesso e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertici con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio rispetto a questo sempre perpendicolare, coincide con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro (angolo giro fratto : ).
Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare -agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente pari a
Considerando quindi come raggio della circonferenza circoscritta al poligono, la lunghezza di un lato del poligono e l'apotema ( nell'immagine a lato), si ottengono i seguenti rapporti:
Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capire come l'apotema faciliti notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.
oppure
dove rappresenta il semiperimetro.
Numeri fissi Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono regolare e dipendenti unicamente dal numero dei lati:
che è il rapporto tra apotema e lato; che è il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato.
Poligono n fn jn Triangolo 3 0,289 0,433 Quadrato 4 0,5 1 Pentagono 5 0,688 1,720 Esagono 6 0,866 2,598 Ettagono 7 1,038 3,634 Ottagono 8 1,207 4,828 Ennagono 9 1,374 6,182 Decagono 10 1,539 7,694 Endecagono 11 1,703 9,366 Dodecagono 12 1,866 11,196 Tridecagono 13 2,029 13,186 Tetradecagono 14 2,191 15,335 Pentadecagono 15 2,352 17,642 Esadecagono 16 2,514 20,109 Ettadecagono 17 2,675 22,736 Ottadecagono 18 2,836 25,521 Ennadecagono 19 2,996 28,465 Icosagono 20 3,157 31,569
Note
Voci correlate Inraggio Poligono regolare
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Categoria:Geometria euclidea