Il tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.
Definizione Il tensore energia impulso è il tensore del secondo ordine che fornisce il flusso della componente -esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie con coordinate costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso , e dunque:.
dove è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano si ha l'impulso in tre dimensioni:
con l'elemento di spazio tridimensionale e il volume contenuto in .
Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.
Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:
Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.
Il tensore è inoltre simmetrico:.
e la componente temporale è la densità di massa relativistica , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:
Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:
Le componenti spaziali di rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie . In particolare, rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre rappresenta lo sforzo di taglio.
Derivazione
Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:
dove è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume , funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero , e quindi:.
Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:
dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:
si ottiene:
Dato che , si definisce il tensore energia impulso come:
in modo che l'espressione assume la forma:
Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:.
dove è il quadrimpulso del sistema e un termine costante che si pone solitamente pari a : la relazione stabilisce che si conserva.
Conservazione dell'energia Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità si hanno le espressioni:
Integrando l'equazione a sinistra sul volume e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:.
Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume , il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie . In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.
Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.
Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico
Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:.
dove è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:
dove è il vettore di Poynting, il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:
e il tensore degli sforzi di Maxwell:.
Si noti che dove c è la velocità della luce.
Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutte le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.
Note
Bibliografia
Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005. Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007, ISBN 978-88-548-1092-1 Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.
Voci correlate Azione (fisica) Campo elettromagnetico Equazione di continuità Principio variazionale di Hamilton Quadrimpulso Tensore degli sforzi elettromagnetico Teorema di Noether Vettore di Poynting
Collegamenti esterni
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Categoria:Tensori nella relatività generale