In fisica il campo elettromagnetico è il campo che descrive l'interazione elettromagnetica. È costituito dalla combinazione del campo elettrico e del campo magnetico ed è generato localmente da qualunque distribuzione di carica elettrica e corrente elettrica variabili nel tempo, propagandosi nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche.
In elettrodinamica classica è descritto come un campo tensoriale; in elettrodinamica quantistica l'interazione è vista come lo scambio di particelle a massa nulla, i fotoni.
Caratteristiche generali
Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto "radiazione elettromagnetica" o "onda elettromagnetica",. essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica. Il campo elettrico e il campo magnetico sono solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni: cariche stazionarie generano un campo elettrostatico, il quale è conservativo, mentre il campo magnetico è, in generale, non conservativo.
Le equazioni di Maxwell insieme alla forza di Lorentz caratterizzano le proprietà del campo elettromagnetico e della sua interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali:
Esse rappresentano in forma differenziale, cioè valida localmente, la Legge di Faraday e la Legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con (noto come campo Induzione elettrica) e (noto come campo magnetizzante). Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell:
dove la densità di carica e la densità di corrente sono dette sorgenti del campo.
La forza di Lorentz è la forza che il campo elettromagnetico genera su una carica puntiforme:
dove è la velocità della carica.
L'introduzione di un campo, in particolare di un campo di forze, è un modo per descrivere l'interazione reciproca tra cariche, che nel vuoto avviene alla velocità della luce. Nella teoria classica dell'elettromagnetismo tale interazione viene considerata istantanea, dal momento che la velocità della luce è approssimativamente di 300000 chilometri al secondo, mentre nella trattazione relativistica si tiene conto del fatto che tale velocità è finita e la forza tra cariche si manifesta dopo un certo tempo: in tale contesto è corretto affermare che una carica interagisce solamente con il campo e questo interagisce solo successivamente su un'eventuale seconda carica posta nelle vicinanze..
In tale contesto il campo elettromagnetico viene descritto dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz, e rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
Se si considera infine anche il ruolo dello spin delle particelle cariche si entra nell'ambito di competenza dell'elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato.
Potenziale
L'elettrodinamica studia il campo elettromagnetico, che nel caso più generale è generato da una distribuzione di carica elettrica e corrente elettrica, tenendo conto dei principi della teoria della relatività, che nella teoria classica dell'elettromagnetismo vengono trascurati.
Gli effetti generati dal comportamento dinamico di cariche e correnti furono studiati da Pierre Simon Laplace, Michael Faraday, Heinrich Lenz e molti altri già dagli inizi dell'ottocento, tuttavia uno studio coerente e logicamente completo dei fenomeni elettromagnetici può essere effettuato solamente a partire dalla teoria della relatività. L'elettrodinamica classica utilizza il formalismo dei tensori e dei quadrivettori per scrivere le equazioni di Maxwell in forma covariante per le trasformazioni di Lorentz, introducendo un quadripotenziale che estende i potenziali scalare e vettore del caso stazionario: in questo modo cariche e correnti elettriche vengono descritte dal quadrivettore densità di corrente dove la parte temporale del quadrivettore è data dalla densità di carica, moltiplicata per la velocità della luce , e la parte spaziale dalla densità di corrente elettrica.
Il quadripotenziale che descrive il campo elettromagnetico è costituito da una parte spaziale data dal potenziale vettore , relativo al campo magnetico, e una parte temporale data dal potenziale scalare del campo elettrico:
A partire dal quadripotenziale si possono definire i campi nel seguente modo:.
Inserendo tali espressioni nelle equazioni di Maxwell, la legge di Faraday e la legge di Gauss magnetica si riducono ad identità, mentre le restanti due equazioni assumono la forma:
Tali espressioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell..
Teoria di Gauge
All'interno delle equazioni di Maxwell ogni grado di libertà in una data configurazione del campo elettromagnetico ha un proprio effetto misurabile sul moto di eventuali cariche di prova poste nelle vicinanze. Tuttavia, l'espressione dei campi rimane invariata se i potenziali subiscono la seguente trasformazione:
Le espressioni dei potenziali si possono quindi modificare senza conseguenze in tal modo, infatti in seguito alla trasformazione il campo rimane invariato:
essendo nullo il rotore del gradiente, mentre si modifica in modo tale che:
Se si effettua quindi l'ulteriore trasformazione la derivata di nell'argomento del gradiente scompare e si ottiene anche .
Una particolare scelta del potenziale scalare o del potenziale vettore è un potenziale di gauge, ed una funzione scalare utilizzata per cambiare il gauge è detta funzione di gauge. Tale arbitrarietà, intrinseca nella definizione, consente ai potenziali di soddisfare un'ulteriore condizione, che determina la scelta del gauge. I gauge più frequentemente utilizzati sono il Gauge di Coulomb ed il Gauge di Lorenz.
Gauge di Coulomb Il gauge di Coulomb, detto anche gauge trasversale o gauge di radiazione, è scelto in modo tale che:.
In termini di deve pertanto soddisfare la relazione:
e le equazioni Maxwell nel gauge di Coulomb sono scritte nel seguente modo:
dove si nota che il potenziale scalare soddisfa l'equazione di Poisson, la cui soluzione è:
mentre la soluzione per il potenziale vettore diventa più difficoltosa, e necessita la scomposizione del vettore densità di corrente in parte trasversale e longitudinale.
Gauge di Lorenz
La condizione imposta nel gauge di Lorenz è detta condizione di Lorenz, e si scrive nel seguente modo:
Ovvero, deve soddisfare l'equazione:
.
La condizione di Lorenz consente di imporre ai potenziali che la soddisfano un ulteriore vincolo, detto trasformazione di Gauge ristretta:
ed i potenziali che godono di tale invarianza appartengono al Gauge di Lorenz.
La condizione di Lorenz permette inoltre di disaccoppiare le equazioni Maxwell scritte in termini dei potenziali, ottenendo l'equazione d'onda:
dove è l'operatore di d'Alembert. L'equazione generale alla quale obbedisce il quadripotenziale ha la forma:
Tale relazione costituisce un modo per esprimere le equazioni di Maxwell in forma covariante. Esplicitando inoltre l'operatore differenziale d'Alembertiano si ha:
dove la quadridensità di corrente è
Per la linearità dell'equazione, le possibili soluzioni per il quadripotenziale sono la somma delle possibili soluzioni dell'equazione omogenea più una soluzione particolare che non rientra in quelle precedenti, e che dà origine alla forma dei potenziali ritardati.
Descrizione covariante
La descrizione covariante del campo elettromagnetico nel vuoto viene svolta nell'ambito del gauge di Lorenz. La condizione di Lorenz garantisce che tale descrizione abbia la proprietà di essere Lorentz invariante, ovvero invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz, e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge.
Si consideri una carica in moto in un campo elettromagnetico. Dai postulati della relatività ristretta segue che l'azione per la carica è uno scalare di Lorentz, in accordo con il principio variazionale di Hamilton secondo il quale si deve verificare che . L'azione è data da:
dove è la lagrangiana. La quantità deve essere quindi invariante. La lagrangiana per una particella libera ha la forma:.
Tale espressione è motivata dal fatto che la lagrangiana non deve dipendere dalla posizione: l'unica possibile quantità invariante è allora , dove è la quadrivelocità. In questo modo la lagrangiana risulta proporzionale a , e dalle equazioni di Eulero-Lagrange si verifica che la corrispondente equazione del moto è:.
In presenza di un campo elettromagnetico la lagrangiana di interazione per una particella carica ha la forma:
dove si osserva che nel limite non relativistico essa si riduce all'energia potenziale di interazione tra la carica ed il campo, con la componente temporale del quadripotenziale : la richiesta di invarianza sotto traslazione conduce inoltre alla scelta del vettore da moltiplicare scalarmente con per ottenere una quantità invariante.. L'espressione della lagrangiana di interazione è tuttavia motivata anche da osservazioni sperimentali, e si può giustificare imponendo che sia una funzione la cui derivata di grado massimo sia la derivata temporale prima delle coordinate, che sia invariante sotto traslazione e che sia lineare rispetto a potenziale e carica.
In presenza di campo l'azione è così definita come l'integrale della lagrangiana totale nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema. In notazione relativistica si può sfruttare l'intervallo spaziotemporale (scalare) , dove è la posizione, e dal momento che , si ha:.
con il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero:.
Se si integra per parti si ottiene:
con la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:
si ha:
dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che e . Ponendo:
si ha:
che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico..
Equazione del moto
Utilizzando il quadrimpulso , l'equazione del moto può essere scritta nel seguente modo:
dove è il quadrimpulso e è il tempo proprio della particella. Il tensore è il tensore elettromagnetico contravariante e è la quadrivelocità della particella. L'equazione può anche essere scritta come:.
Raggruppando le tre equazioni spaziali si ha, esplicitamente:.
mentre per la componente temporale:
Queste relazioni sono le equazioni del moto per una carica in un campo elettromagnetico.
Tensore elettromagnetico
Il tensore doppio di campo elettromagnetico è un tensore antisimmetrico del second'ordine covariante, e la sua traccia è nulla:
Un diverso modo di rappresentare il campo attraverso un tensore antisimmetrico è fornito dal tensore duale elettromagnetico, dato da:
Il tensore elettromagnetico gode della proprietà:
Attraverso questa notazione si possono sintetizzare a coppie le equazioni di Maxwell. Le due equazioni vettoriali non omogenee si riducono a:
mentre le equazioni omogenee sono:
In modo equivalente: