In trigonometria larcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo p.187

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è . È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

Notazione La notazione matematica dell'arcotangente è o ; è comune anche la scrittura . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà

L'arcotangente è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali: pp.188-189

La sua immagine è l'intervallo:

Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:

La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:

È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

ed è di classe cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine: p. 219

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è: p. 239

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

nelle quali

Si ha inoltre che, per :

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza e . L'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

e quindi si giunge a:

Applicazioni In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente pp. 376-377. Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.

Note

Bibliografia

Voci correlate Tangente (matematica) Arcotangente2

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