In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.
Nel calcolo delle probabilità
Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale assume valori minori o uguali a ".
In altre parole, è la funzione con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo definita da
Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e
Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se è una variabile casuale discreta e un punto del suo supporto, allora è una funzione a gradino e dunque
(ponendo senza restrizioni di generalità ) poiché è una costante indipendente da , mentre
dunque essendo si ha che non è continua.
Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che a ogni sottoinsieme misurabile associa la probabilità che cada in ..
Proprietà
Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione :
Se è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di può essere espressa come funzione integrale:
ove è detta funzione di densità di . Si può anche considerare la relazione inversa:
Se è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori )
dove è detta funzione di probabilità di .
Esempi
Se è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha
dove con si indica la parte intera di x.
Se è la variabile casuale uniforme continua in si ha .
Funzione di sopravvivenza In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:
Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:
e
Ogni funzione di sopravvivenza è una funzione monotona decrescente, vale a dire per
Il tempo rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.
Variabili aleatorie multivariate Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria a valori in è la funzione con dominio e codominio l'intervallo definita da
dove sono le componenti di .
Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione: Per qualsiasi , è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se , se per semplicità, dove è la funzione di ripartizione della variabile -variata .
Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza
e l'affermazione vale anche per ogni permutazione degli indici .
In statistica descrittiva
In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.
La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore .
Se sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative la funzione di ripartizione ha espressione analitica
Le sono dette frequenze relative cumulate.
Note
Bibliografia Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
Voci correlate Distribuzione (statistica) Funzione càdlàg Funzione di densità di probabilità Funzione caratteristica (teoria della probabilità) Funzione di probabilità Integrale Percentile Quantile Statistica Teoria della probabilità Variabile casuale Histogram matching
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