In logica matematica, un modello di una teoria formale è un'interpretazione che rende vera tutti gli enunciati della teoria. Sebbene la seguente definizione faccia riferimento alla teoria dei modelli, gli esempi e le definizioni successive fanno riferimento a teoria e logica del primo ordine.
Definizione Per una data teoria in teoria dei modelli, una struttura è definita come modello se
il linguaggio usato da è lo stesso usato nella teoria , ogni proposizione in è soddisfatta da ,
dove
è un dominio (di discorso o di interpretazione), è una firma (signature), è una funzione di interpretazione.
Dominio Il dominio di una struttura è definito come un insieme arbitrario; è anche detto dominio di discorso in quanto contiene gli elementi dell'ambiente sul quale si vuole effettuare una descrizione o un ragionamento.
Si noti che, se il dominio è usato in una struttura per la logica del primo ordine, allora non può essere vuoto.
Signature La signature di una struttura è un definita formalmente come una coppia i cui elementi sono
, l'insieme di simboli di costanti, funzioni o relazioni, ciascuno con un'arietà; una funzione , detta di arietà, che associa ad ogni simbolo in il numero di argomenti che il simbolo accetta.
Per definizione simboli costanti sono tali che .
Funzione di interpretazione Una funzione di interpretazione di una struttura è una funzione che assegna funzioni e relazioni ai simboli definiti nella signature ed è tale che:
, con simbolo costante nel dominio di interpretazione; , con simbolo funzionale con arietà e nel dominio di interpretazione; , con simbolo relazionale con arietà e nel dominio di interpretazione.
Esempio Un esempio di dominio di discorso, può essere un insieme di persone che siamo interessati a descrivere, ad esempio .
Un esempio di signature può essere una coppia , dove
, con simbolo funzionale, simbolo relazionale, e simboli costanti; funzione di arietà tale che:
Facendo riferimento agli esempi di dominio e signature visti sopra, una possibile funzione di interpretazione può essere tale che:
tale che
Soddisfacibilità per logiche del primo ordine Un modello per una formula ben formata di un linguaggio del primo ordine è un modello per il linguaggio in cui l'interpretazione della formula risulti vera. Una formula è detta valida se è vera per tutti i modelli; soddisfacibile se esiste almeno un modello rispetto al quale è vera; insoddisfacibile se non esiste nessun modello in cui è vera. Per esempio, una formula valida può essere , una soddisfacibile può essere , una insoddisfacibile può essere .
Modelli di teorie assiomatiche Un modello per una teoria del primo ordine è un modello per il suo linguaggio per cui siano vere tutte le formule che sono assiomi della teoria, e di conseguenza saranno verificate nel modello tutte le formule corrispondenti ai teoremi della teoria.
Voci correlate Teoria dei modelli Linguaggio del primo ordine Teoria del primo ordine Correttezza (logica matematica) Completezza (logica matematica) Consistenza (logica matematica)
Collegamenti esterni
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