In matematica, le funzioni di Struve sono funzioni speciali che sono soluzioni dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea di Bessel:
dove è la funzione Gamma. La sua soluzione generale ha una forma del tipo:
dove e sono costanti arbitrarie, mentre e denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedente, e viene chiamata funzione di Struve di ordine .
Definizione Trattandosi di un'equazione non omogenea, la soluzione dell'equazione di Bessel può essere costruita a partire da una soluzione particolare aggiungendo le soluzioni della rispettiva equazione omogenea. In questo caso, le soluzioni omogenee sono le funzioni di Bessel, e la soluzione particolare può essere scelta come la corrispondente funzione di Struve.
L'espansione delle funzioni di Struve in serie di potenze ha la seguente forma:
In particolare:
La funzione di Struve modificata, denotata con , si sviluppa in serie di potenze come:
Forma integrale Una definizione alternativa della funzione di Struve per valori di che soddisfano è possibile tramite la rappresentazione integrale:
Forme asintotiche Per piccoli valori di , lo sviluppo in serie di potenze è data sopra, mentre per grandi valori di
dove è la funzione di Neumann.
Proprietà Le funzioni di Struve soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza:
Collegamenti con altre funzioni speciali Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni special, come le funzioni di Bessel e , le funzioni di Bessel sferiche modificate , le funzioni di Anger , funzioni di Weber e le funzioni di Struve modificate . Nello specifico, per quanto riguarda le funzioni di Weber, possono essere scritte attraverso di esse e viceversa, ovvero se è un intero non-negativo allora:
Le funzioni di Struve di ordine , con intero, possono inoltre essere scritte tramite funzioni elementari; in particolare se è un intero non-negativo allora:
dove il membro di destra è una funzione di Bessel sferica.
Le funzioni di Struve di ordine qualsiasi possono anche essere definite con la funzione ipergeometrica generalizzata :
Bibliografia G. N. Watson (1922) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press (Capitolo 10, sezione 10.4 pp. 328-338) Y. L. Luke (1962): Integrals of Bessel functions, McGraw-Hill Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Chapter 12 Shanjie Zhang, Jianming Jin (1996): Computation of Special functions, J.Wiley (Chapter 11) R. B. Paris (2010): Struve and Related Functions Digital Library of Mathematical Functions
Voci correlate Armoniche cilindriche Equazioni di Bessel Funzioni di Anger Funzioni di Lommel Funzioni di Struve modificate Serie di potenze
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Collegamenti esterni
Struve function in functions.wolfram.com J. P. Mason, NRL Memorandum Reports, MR-3181, 1975.
Struve Categoria:Equazioni differenziali ordinarie