In meccanica quantistica, uno stato quantico è un'entità matematica che fornisce una distribuzione di probabilità per i risultati di ogni possibile misurazione su un sistema. La conoscenza dello stato quantico, unitamente alle regole dell'evoluzione del sistema nel tempo, costituisce tutto ciò che si può prevedere sul comportamento del sistema. Una miscela di stati quantici è di nuovo uno stato quantico.
Prima che una particolare misurazione venga eseguita su un sistema quantistico, la teoria fornisce solo una distribuzione di probabilità per il risultato, e la forma che questa distribuzione assume è completamente determinata dallo stato quantico e dagli operatori lineari che descrivono la misurazione. Le distribuzioni di probabilità per le diverse misurazioni presentano dei compromessi esemplificati dal principio di indeterminazione: uno stato che implica una gamma ristretta di possibili risultati per un esperimento implica necessariamente una vasta gamma di possibili risultati per un altro.
Stati puri e misti Gli stati quantici che non possono essere scritti come una miscela di altri stati sono chiamati stati quantici puri (o sovrapposizione coerente), mentre tutti gli altri stati sono chiamati stati quantici misti (o miscela statistica). Uno stato quantistico puro può essere rappresentato da un vettorePiù propriamente, uno stato è un raggio, ovvero un vettore e tutti i suoi multipli. Ad esempio, e sono due vettori diversi ma appartengono allo stesso raggio, e quindi rappresentano lo stesso stato quantistico. in uno spazio di Hilbert sui numeri complessi, mentre gli stati misti sono rappresentati da matrici densità, che sono operatori semidefiniti positivi che agiscono sugli spazi di Hilbert.
Gli stati puri sono anche conosciuti come vettori di stato o funzioni d'onda, in particolare quando gli stati sono rappresentati come funzioni della posizione o della quantità di moto. Per esempio, quando si tratta dello spettro energetico dell'elettrone in un atomo di idrogeno, i vettori di stato rilevanti sono identificati dal numero quantico principale, il numero quantico di momento angolare, il numero quantico magnetico e la componente z dello spin. Per un altro esempio, se lo spin di un elettrone viene misurato in qualsiasi direzione, ad esempio con un esperimento di Stern-Gerlach, ci sono due possibili risultati: su o giù. Lo spazio di Hilbert per lo spin dell'elettrone è quindi bidimensionale e costituisce un qubit. Uno stato puro qui è rappresentato da un vettore complesso bidimensionale con una lunghezza di uno, cioè con
dove e sono i valori assoluti di e . Uno stato misto, in questo caso, ha la struttura di una matrice hermitiana e semi-definita positiva, con traccia 1. Un caso più complicato è dato (nella notazione bra-ket) dallo stato di singoletto, che esemplifica l'entanglement quantistico:
che comporta la sovrapposizione di stati di spin per due particelle con spin . Lo stato di singoletto soddisfa la proprietà che se gli spin delle particelle sono misurati lungo la stessa direzione allora o lo spin della prima particella è osservato su e quello della seconda giù, o viceversa; entrambe le possibilità accadono con uguale probabilità.
Uno stato quantistico misto corrisponde a una miscela probabilistica di stati puri; tuttavia, diverse distribuzioni di stati puri possono generare stati misti equivalenti (cioè fisicamente indistinguibili). Il teorema di Schrödinger-HJW classifica la moltitudine di modi per scrivere un dato stato misto come una combinazione convessa di stati puri.
Formulazione matematica Stati puri
Nella formulazione matematica della meccanica quantistica, gli stati quantici puri corrispondono a vettori in uno spazio di Hilbert, mentre ogni grandezza osservabile (come l'energia o la quantità di moto di una particella) è associata a un operatore, di fatto un'applicazione lineare che agisce sugli stati del sistema. Gli autovalori dell'operatore corrispondono ai possibili valori dell'osservabile. Per esempio, è possibile osservare una particella con quantità di moto pari a 1 kg⋅m/s se e solo se uno degli autovalori dell'operatore associato è 1 kg⋅m/s. Il corrispondente autovettore (che i fisici chiamano autostato) con autovalore 1 kg⋅m/s sarebbe uno stato con un ben definito valore di quantità di moto di 1 kg⋅m/s, con nessuna incertezza quantistica: se venisse misurata la quantità di moto, il risultato è garantito essere pari a 1 kg⋅m/s.
D'altra parte, un sistema in una sovrapposizione di molti diversi autostati in generale ha incertezza quantistica per una data osservabile. Possiamo rappresentare questa combinazione lineare di autostati come:
Il coefficiente che corrisponde a un particolare stato nella combinazione lineare è un numero complesso, comportando così effetti di interferenza tra gli stati. I coefficienti sono dipendenti dal tempo. Come uno stato quantistico cambia nel tempo è governato dall'operatore di evoluzione temporale. I simboli e Talvolta vengono impropriamente usate le parentesi uncinate anziché le parentesi angolate. che circondano fanno parte della notazione bra-ket.
Le miscele statistiche di stati sono un tipo diverso di combinazione lineare. Una miscela statistica di stati è un insieme statistico di sistemi indipendenti. Esse rappresentano il nostro grado di conoscenza mentre l'incertezza all'interno della meccanica quantistica è fondamentale nella teoria. Matematicamente, una miscela statistica non è una combinazione che utilizza coefficienti complessi, ma piuttosto una combinazione che utilizza valori reali, probabilità positive di stati diversi . Un numero rappresenta la probabilità che un sistema selezionato a caso sia nello stato . A differenza del caso della combinazione lineare, ogni sistema si trova in un determinato autostato.
Il valore di aspettazione di un'osservabile A è una media statistica di valori misurati dell'osservabile. È questa media, e la distribuzione di probabilità, che viene predetta dalle teorie fisiche.
Non ci sono stati che siano autostati per tutte le osservabili allo stesso tempo. Per esempio, non è possibile preparare uno stato tale che sia una misura della posizione sia una misura della quantità di moto (effettuate nello stesso istante di tempo) siano conosciute esattamente; almeno una delle due avrà un intervallo di valori possibili.Per evitare fraintendimenti, si intende che le misure sono state effettuate sullo stesso stato, ma in due esecuzioni dell'esperimento. Questo è il contenuto del principio di indeterminazione di Heisenberg.
Inoltre, a differenza di quanto accade in meccanica classica, è inevitabile che effettuare una misura del sistema in genere cambia il suo stato.Heisenberg, W. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43: 172–198. Translation as 'The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics'. Also translated as 'The physical content of quantum kinematics and mechanics' at pp. 62–84 by editors John Wheeler and Wojciech Zurek, in Quantum Theory and Measurement (1983), Princeton University Press, Princeton NJ.Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement April 14 1928, 121: 580–590.: "If a system is small, we cannot observe it without producing a serious disturbance." Più precisamente: dopo aver misurato un'osservabile A, il sistema sarà in un autostato di A; allora lo stato è cambiato, a meno che non si trovasse già in un autostato. Questo esprime un genere di coerenza logica: se viene misurata A due volte consecutivamente,cioè separate da un ritardo nullo. Si può immaginare fermare il tempo, fare le due misure e poi riavviarlo. In questo modo le misure sono state fatte allo stesso momento ma è possibile distinguere quale è stata fatta prima. allora queste misure produrranno lo stesso risultato. Questo ha tuttavia alcune conseguenze particolari, come segue.
Consideriamo due osservabili incompatibili, A e B, dove A è stata misurata precedentemente nel tempo rispetto a B. Si supponga che il sistema sia in un autostato di B all'inizio dell'esperimento. Se misuriamo solo B, tutti gli esperimenti daranno lo stesso risultato. Se invece si misura prima A e poi B nello stesso esperimento, il sistema si trasferirà in un autostato di A dopo la prima misurazione, con la conseguenza che i risultati di B saranno generalmente statistici. La conclusione è che le misure dei sistemi quantistici si influenzano a vicenda, e l'ordine in cui vengono effettuate è importante.
Un'altra caratteristica degli stati quantistici diventa rilevante se si considera un sistema fisico costituito da più sottosistemi; per esempio, un esperimento con due particelle piuttosto che una. La fisica quantistica permette certi stati, chiamati stati entangled, che mostrano certe correlazioni statistiche tra le misure sulle due particelle che non possono essere spiegate dalla teoria classica. Questi stati entangled portano a proprietà sperimentalmente testabili (teorema di Bell) che permettono di distinguere tra la teoria quantistica e modelli alternativi classici (non quantistici).
Rappresentazione di Schrödinger e rappresentazione di Heisenberg Si possono considerare le osservabili dipendenti dal tempo, mentre lo stato rimane fissato dall'inizio dell'esperimento. Questo approccio è chiamato "rappresentazione di Heisenberg". Si può, allo stesso modo, trattare le osservabili come fissate e invece considerare lo stato del sistema variabile nel tempo; questo si chiama rappresentazione di Schrödinger. Concettualmente (e matematicamente), i due approcci sono equivalenti; scegliere una delle due è una convenzione.
Nella teoria quantistica sono utilizzati entrambi i punti di vista. Mentre la meccanica quantistica non relativistica è solitamente formulata in termini della rappresentazione di Schrödinger, quella di Heisenberg è spesso preferita nel contesto relativistico, ovvero per la teoria quantistica dei campi. Un'altra rappresentazione, intermedia, è la rappresentazione di interazione..
Formalismo in fisica quantistica
Stati puri come raggi in uno spazio di Hilbert complesso
La fisica quantistica è spesso formulata in termini dell'algebra lineare, come segue. Un determinato sistema è identificato con qualche spazio di Hilbert di dimensione finita o infinita. Gli stati puri corrispondono a vettori di norma 1. Allora l'insieme di tutti gli stati puri corrispondono alla sfera unitaria nello spazio di Hilbert, perché la sfera unitaria è definita come l'insieme di tutti i vettori con norma 1.
Moltiplicare uno stato puro per uno scalare è fisicamente ininfluente. Se un vettore in uno spazio di Hilbert può essere ottenuto da un altro vettore moltiplicando per un certo numero complesso non nullo, si dice che i due vettori corrispondano allo stesso "raggio" in e anche allo stesso punto nello spazio di Hilbert proiettivo di .
Notazione bra-ket
I calcoli in meccanica quantistica fanno spesso uso di operatori lineari, prodotti scalari, spazi duali e l'operazione di coniugazione hermitiana. Al fine di rendere questi calcoli più scorrevoli e per rendere meno necessario la comprensione completa dell'algebra lineare, Paul Dirac inventò una notazione per descrivere gli stati quantici, detta notazione bra-ket. Alcune conseguenze di questo sono:
L'espressione usata per denotare un vettore di stato (che corrisponde a uno stato quantico puro) ha la forma (dove "" può essere sostituito da qualsiasi altro simbolo, lettera, numero o anche parola). Questo può essere contrastato con la solita notazione matematica, dove i vettori sono di solito lettere latine minuscole, ed è chiaro dal contesto che sono effettivamente vettori.