数学において、クンマーの定理（クンマーのていり、英: ）は二項係数におけるp進付値を与える定理で、エルンスト・クンマーによって1852年に示された。
主張 整数 n ≥ m ≥ 0 と素数 p に対し、 二項係数 が p で割り切れるような最大の回数 は m と n-m を底 p で加算した時の繰り上がりの回数と等しい。
また、以下のような同値な表現も存在する。
整数 n の p 進表示を とし、桁和 を定める。このとき、
この公式は、ルジャンドルの公式をに適用することで証明できる。
例 が2で割り切れる最大回数を求める。, を 進法で以下のように加算すると3回繰り上がる。
したがって である。実際 は2で最大3回割り切れる。
p 進法での桁和を用いても求められる。2進法での3, 7, 10 の桁和はそれぞれ, , なので、
多項係数への一般化 クンマーの定理は次のように 多項係数 にも一般化することができる。
関連項目 リュカの定理 ルジャンドルの公式
出典
外部リンク