交代級数判定法

交代級数判定法（こうたいきゅうすうはんていほう、）とは、交代級数が収束するための十分条件である。

ライプニッツの判定法（ライプニッツのはんていほう、）とも呼ばれる。

判定法の内容 非負数列 が単調減少かつ に収束するならば、交代級数

は収束する。

なお有限項の和は級数の収束性に影響しないので、単調性の仮定はある自然数より大きな任意の自然数で成り立っていれば十分である。

証明 部分和 に対し である。そこで区間列 を考えると

より、 である。また は で に収束するから、区間縮小法により はある共通の実数に収束する。

適用例 次の交代級数は本判定法で収束が確かめられる例である。 交代調和級数

ライプニッツ級数

その他

（: オイラー定数）

注意 が単調減少でなくても、交代級数が収束することはある。たとえば偶数項 が 、奇数項 が の交代級数

は に収束するが、常に である。

誤差の評価 証明から、級数の和 に対し は常に 以上、 は常に 以下である。よって

が成り立つ。これらをまとめると、部分和との誤差の評価式

が得られる。

補足 ライプニッツの判定法は、ディリクレの判定法の特別な場合になっている。

としたものがライプニッツの判定法である。

脚注

参考文献