マッケンハウプトの重み（マッケンハウプトのおもみ、）とは、調和解析において、ハーディ＝リトルウッドの極大関数が重み付き 空間上で有界となるような重み関数のクラスである。
1972年、数学者によって初めて導入・特徴付けがなされた。このクラスは、カルデロン・ジグムントの特異積分演算子の有界性を保証するためにも不可欠な概念である。
動機 古典的な調和解析において、最大関数や特異積分演算子の 有界性はルベーグ測度の下で広く研究されてきた。しかし、偏微分方程式の境界値問題や幾何学的測度論などの応用においては、空間の各点に「重み」が付いた測度 を考える必要がある。
関数 の極大関数 を以下で定義する。
ここで は中心 、半径 の球、 はそのルベーグ測度である。我々が関心があるのは、不等式
が任意の に対して成立するような非負関数（重み） を特徴付けることにある。は、これが後述する代数的な条件（ 条件）と等価であることを示した。
定義 固定された に対して、重み がクラス に属するとは、 が局所可積分であり、任意の球 に対して以下の不等式を満たす定数 が存在することをいう。
ここで となる指数 を用いると、第2項は とも書ける。
また、クラス は以下を満たす定数 が存在するときに属すると定義される。
これは最大関数を用いて とも表現できる。
等価な特徴付け において、重み が に属することは、以下の条件のいずれかと等価である。
(a) 最大関数の有界性 ハーディ＝リトルウッドの極大関数が、重み付き空間 上で有界である。
(b) 逆向きのイェンゼンの不等式 任意の局所可積分関数 に対して、以下の不等式を満たす定数 が存在する。
ここで である。
また、イェンゼンの不等式を用いると、 とおいたとき、 であることと、 が平均振動に関して特定の指数的可積分条件を満たすことが同値となる。
諸性質 マッケンハウプトの重みのクラス は、指数 に関して以下の基本的な性質を持つ。
包含関係 クラス は指数 に対して単調増加であり、以下の包含関係が成り立つ。
さらに、ある重みが に属していれば、その重みは「少し小さな」指数に対してもマッケンハウプトの重みとなる。すなわち、 () ならば、ある が存在して が成り立つ。この性質は、後述する逆ヘルダー不等式を用いて証明される。また、これより
が成り立つ。クラス はすべての クラスの合併として定義される。
定数倍と和・積に関する閉じ方 定数倍: かつ ならば、 である。 凸結合: ならば、任意の に対して が成り立つ。 積: であっても、その積 が に属するとは限らない。しかし、 かつ ならば、ヘルダーの不等式の一般化により特定のべき乗の積に関する包含関係が示される。
逆ヘルダー不等式と 重みの研究における重要な成果の一つは、これらの重みが「逆ヘルダーの不等式」を満たすことである。一般に、ヘルダーの不等式によれば積の積分は積の積分よりも小さいが、 重みについてはある種の「逆」が成立する。
重み がクラス に属するとは、以下の等価な条件のいずれかを満たすことである。 ある に対して である。 逆ヘルダーの不等式: ある と定数 が存在し、任意の球 で が成立する。 測度の絶対連続性に関する強い条件（ 条件）を満たす。
BMO空間との関係 条件は、重みが極端に増大したり減退したりしないことを制限している。この性質は、空間と密接に関連している。
ならば、その対数 はに属する。 逆に、 であれば、十分に小さな に対して となる。
この関係は、ジョン＝ニレンバーグの不等式を用いて証明される。なお、 の小ささに関する仮定は必須である（例えば は BMO だが、その指数関数 はどの にも属さない場合がある）。
特異積分の有界性 マッケンハウプトの重みの重要性は、最大関数だけでなく特異積分演算子（カルデロン・ジグムント演算子）に対してもその有界性を保証する点にある。
ヒルベルト変換やリース変換に代表される、滑らかなカーネル を持つ演算子 について、 かつ であれば、
が成り立つ。さらに、特定の非退化条件を満たすカーネルについては、この逆も真であり、「演算子の有界性」こそが クラスの定義そのものとも言える。
関連項目 ハーディ＝リトルウッドの極大関数 マッケンハウプトのAp定数
脚注
参考文献 Stein, E. M. (1993). Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press. グラフコス, L. (2004). Classical and Modern Fourier Analysis. Pearson Education.