命題論理式（めいだいろんりしき、）は、命題論理における整式（well-formed formula）の一種であり、構文的に適切に構成された論理式である。命題論理式のすべての変数に真理値が与えられると、一意の真理値が定まる。命題論理式は命題式（propositional expression）、文（sentence）、あるいは文論理式（sentential formula）とも呼ばれる。
命題論理式は、「5は3より大きい」のような単純な命題や、p・q といった命題変数から、NOT、AND、OR、IMPLIESなどの論理結合子（論理演算子）を用いて構成される。例えば:
(p AND NOT q) IMPLIES (p OR q)
数学において、命題論理式はしばしば単に「命題」と呼ばれるが、より正確には、命題論理式は命題そのものではなく、命題—議論の対象となる形式的対象—を表示する形式表現である。これはちょうど「」という式が値そのものではなく値を表示するのと同様である。文脈によっては、この区別を保持することが重要になる。
命題 命題論理の目的のために、命題（発話、文、主張）は単純なものと複合なものに分けられる。Hamilton 1978:1 複合命題は文論理的結合子によって結び付けられたものとみなされる。最もよく使われる結合子としては、「AND」「OR」「IF ... THEN ...」「NEITHER ... NOR ...」「... IS EQUIVALENT TO ...」などがある。接続的なセミコロン「;」や「BUT（しかし）」は「AND」の表現とみなされる。一連の離散的な文は「AND」で結び付けられたものとみなされ、形式的な分析では単純命題の列に対して再帰的な「括弧規則」が適用される（整式についての詳細は後述参照）。 例: 「この牛は青い。あの馬はオレンジ色だが、こちらの馬は紫色だ。」という主張は、実際には「AND」で結び付けられた複合命題である: ( (「この牛は青い」 AND 「あの馬はオレンジ色」) AND 「こちらの馬は紫色だ」 )
単純命題は宣言的な性質を持ち、特定の感覚的対象の状態や性質についての主張を行う。例:「この牛は青い」「コヨーテがいる！」（「そのコヨーテはあの岩の陰にいるのだ。」）。プリンキピア・マテマティカ (PM) p. 91では「感覚の明確な対象」を要求するため「the」を避け、「this」の使用を規定している したがって、単純な「原始的」主張は特定の対象または特定の心的状態についてのものでなければならない。少なくとも主語（思考または観察の直接の対象）、動詞（能動態・現在形が望ましい）、そして場合によっては形容詞や副詞を持つ必要がある。「犬！」は「犬が見える」を示唆するかもしれないが、曖昧すぎるとして棄却されるべきである。
例: 「その紫色の犬は走っている」「この牛は青い」「スイッチM31は閉じている」「このキャップは外れている」「明日は金曜日だ」
命題論理においては、複合命題は通常、一連の単純文に言い換えることができるが、結果はぎこちなく聞こえることが多い。
命題論理式と述語論理式の関係 述語論理は命題論理よりも一歩進んで「命題の内部構造の分析」を行う。（強調は引用者）Reichenbach p.80. 単純文を (i) 主語（言説の対象、単数または複数）と (ii) 述語（対象の性質・属性を主張する動詞または動詞句）の二部分に分解する。述語論理はさらに「主語|述語」の形式（ここで | は記号の連結を表す）を「___|述語」という空白主語の構造に一般化し、述語はさらにその性質を持つすべてのものへと一般化される。
例: 「この青い豚には翼がある」は命題論理では「この豚には翼がある」AND「この豚は青い」という2文になり、その内部構造は考慮されない。一方、述語論理では最初の文は「この豚」を主語、「翼がある」を述語に分解する。したがって、対象「この豚」は「翼のあるもの」のクラス（集合）のメンバーであることを主張する。2番目の文は「この豚」が「青い」という属性を持ち、「青いもの」のクラスのメンバーであることを主張する。AND で結ばれた2文を次のように書くことができる: p|W AND p|B
「この豚」を「翼のあるもの」と「青いもの」の2クラスの（潜在的）メンバーに一般化することは、それらのクラスとの真理関係を持つことを意味する。すなわち、「翼のあるもの」という言説の領域が与えられたとき、p がこの領域のメンバーであるかどうかを確認できる。したがって W（翼性）と p（豚）と { T, F } の間には関係があり、W(p) は { T, F } の値を取る。同様に B（青性）と p（豚）についても B(p) は { T, F } の値を取る。そこで「B(p) AND W(p)」という接続された主張全体の真理値を分析できる: ( B(p) AND W(p) ) → { T, F }
特に、「すべて」「いくつか」「少数」「一つの」などの論理量化子を用いる単純文は述語論理によって扱われる。新しい関数記法「F(x)」とともに2つの新しい記号が導入される: ∀（すべての）と ∃（…が存在する）。述語論理は命題論理とは異なり、次の命題の形式的妥当性を証明できる: 「すべての青い豚は翼を持つが、翼を持たない豚もいる。したがって、青くない豚もいる。」
同一性 タルスキは、同一性（IDENTITY）の概念（論理的同値とは区別される）は命題論理の外にあると主張するが、数学や諸科学に役立つ論理を構築するためには同一性の「理論」が含まれなければならないと述べる。Tarski p.54-68. Suppes は同一性を「推論のさらなる規則」と呼び、簡単な展開を行っている; Robbin, Bender and Williamson, Goodstein は記号とその用法を注釈なしに導入している。Hamilton p. 37は形式的演算体系における論理式の評価に関して ≠ と = の2つの記号を用いている。Kleene p. 70 and Hamilton p. 52 は述語論理（特に自然数の算術に関して）にこれを位置付けている。 著者によっては「同一性を含む述語論理」と明示してこの拡張を強調する。詳細は後述参照。
命題の代数（命題論理）
代数（そこには様々な種類がある）とは、大まかに定義すれば、変数と呼ばれる記号の集まりを、括弧 (, ) や *, +, ~, &, ∨, =, ≡, ∧, ￢ などの記号のサブセットとともに、一定の規則体系の中で操作する方法である。これらの記号、およびそれらの整式な文字列は対象を表示するとされるが、特定の代数体系内ではこれらの対象に意味はない。したがって、代数の中での作業は、記号の構文論(記号形成)の特定の法則(規則)に従う演習となり、記号の意味論(意味)を扱うものではない。意味は代数の外部に求めなければならない。
代数において整式の記号列—論理式—が代数外でも有用であるためには、記号に意味が割り当てられ、最終的に変数に値が割り当てられる。そして一連の規則によって論理式が評価される。
値が2つだけに制限され、命題結合子によって結ばれた単純文（例: 発話や書かれた主張）の概念に適用される場合、この記号・規則・評価方法の代数体系全体は通常命題論理（センテンシャル計算）と呼ばれる。
算術代数のいくつかの馴染み深い規則は命題の代数でも成立するが（例: AND と OR の交換法則と結合法則）、成立しないものもある（例: AND, OR, NOT の分配法則）。
命題論理式の有用性 分析: 演繹的推論において、哲学者・修辞学者・数学者は議論を論理式に還元し、真理表を用いてその正しさ（健全性）を研究する。例えば、以下の議論は健全だろうか: 「意識が人工知能にとって十分条件であり、意識を持つ存在だけがチューリングテストに合格できるとすれば、ロボットが人工知能であると結論付ける前に、ロボットはチューリングテストに合格しなければならない。」
エンジニアは設計した論理回路を合成技法を用いて分析し、設計を簡略化するために様々な縮減・最小化技法を適用する。
合成: エンジニアは特に真理表から命題論理式（最終的には記号の回路になる）を合成する。例えば、変数「b」「a」と桁上げ入力「carry_in」「ci」、結果「carry_out」「co」と和 Σ が与えられた場合の2進加算の動作について真理表を書き下すことができる: 例: 行5では、( (b+a) + ci ) = ( (1+0) + 1 ) = 「2」という数になる。2進数で書くと 10₂ であり、右端の列に示されるように「co」=1、Σ=0 となる。 行 b a ci (b+a)+ci co Σ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 0 1 3 0 1 1 2 1 0 4 1 0 0 1 0 1 5 1 0 1 2 1 0 6 1 1 0 2 1 0 7 1 1 1 3 1 1
命題変数 命題論理式の最も単純な形は命題変数である。単純な（原子的な）命題を表す記号的表現は、しばしば p, q や P, Q などと命名された変数で表される。命題変数は「今日は土曜日だ」＝ p（ここで = は「…という変数名が割り当てられる」を意味する）や「私は月曜日だけ映画に行く」＝ q のような原子命題（主張）を表すことを意図している。
真理値の割当と論理式の評価 命題論理式の評価は、各変数への真理値の割当から始まる。各変数が単純文を表すため、真理値はこれらの単純文の「真」または「偽」に適用される。
修辞学・哲学・数学における真理値
真理値は2つだけである: {真「T」, 偽「F」}。経験論者はすべての命題を2つの大きなクラスに分類する: 分析的—何があっても真（例: トートロジー）—と 総合的—経験から導出され、第三者による確認が可能（意味の検証理論）。経験論者はア・プリオリ（先天的・生得的）な知識という概念を拒否する。ジョン・ロックやデイヴィッド・ヒュームのような「徹底的還元論者」は「すべての観念は感覚経験から直接生じるか、そのようにして生じた観念から複合されなければならない」と主張した; Quine reprinted in 1996 The Emergence of Logical Empriricism, Garland Publishing Inc. 経験論者によれば、一般に総合命題の真理値に到達するには、まず言葉に意味（パターン照合テンプレート）を適用し、次にそれらを主張されていることと照合しなければならない。例えば、「あの牛は！」という発言。これは真か? 確かに私はそう言った。そして私は青い牛を見ているかもしれない—嘘をついていない限り、私の（誤りがあるかもしれない）知覚の対象に相対的に、その発言は真である。しかし青い牛は「本当にそこにある」のか? 同じ窓から見えるものは何か? 確認のためには、「牛」と「」両方の先行概念（テンプレート）と、感覚対象（もし存在するなら）にテンプレートを照合する能力が必要になる。
工学における真理値
エンジニアは哲学者を悩ます真偽の概念を避けようとするが、最終的には測定器を信頼しなければならない。堅牢性を追求するエンジニアは、小さなライブラリから既知のオブジェクトを引き出すことを好む—大きな組み合わせでも動作が明確に予測可能なオブジェクトを（そのため「組み合わせ論理」という名称が付いた）。単一のオブジェクトの最小の動作数は2つであり（例: {OFF, ON}, {開, 閉}, {上, 下} など）、これらを {0, 1} に対応させる。そのような要素をデジタルと呼ぶ; 動作が連続する範囲を持つものはアナログと呼ぶ。アナログシステムで判断が必要な場合、エンジニアはしばしばコンパレータを使用してアナログ動作（ドアが45.32146%開いている）をデジタル（例: DOWN=0）に変換する。ニューラルネットモデリングはコンパレータの優れた数学的モデルを提供する: 信号 S と閾値 "thr" が与えられたとき、S から "thr" を引き、その差 d をシグモイド関数に代入する: 大きなゲイン k（例: k=100）に対して 1/( 1 + e^{-k*d} ) = 1/( 1 + e^{-k*(S-thr)} ) = { ≃0, ≃1 }。
したがって変数の意味と2値記号 {0, 1} の割当は、通常は複合的な対象の動作を表す論理式の「外部」から来る。例えば、2つの「リミットスイッチ」を持つガレージドアがある—UP 用に SW_U、DOWN 用に SW_D とラベルされたスイッチと、ドアの回路内にある他のもの。回路（回路図または実際のオブジェクト—ドア、スイッチ、ワイヤー、回路基板など）の検査から、スイッチ「SW_D」の接点が機械的に接触（「閉じた」）しているとき回路基板の「ノード22」が+0ボルトになり、ドアが95%「下げられた」位置にあること、そしてドアが95%上がっておりスイッチ SW_U の接点が機械的に接触（「閉じた」）しているとき「ノード29」が+0ボルトになることが判明するかもしれない。実際にはデジタルの1と0は非重複の範囲にわたって定義される（例: {「1」= +5/+0.2/−1.0ボルト, 0 = +0.5/−0.2ボルト}）。値が定義された範囲外になると、その値は「u」—未知—になる。 エンジニアはこれらの電圧のすべての組み合わせ（全4通り）の意味を定義しなければならない。「悪い」組み合わせ（例: ノード22とノード29の両方が0ボルト—ドアが同時に開いており閉じていることを意味する）も含めて。回路はどんな電圧が加わっても、真・偽・正・誤・安全・危険の認識なしに盲目的に反応する。
命題結合子
任意の命題論理式は、命題変数と他の命題論理式から命題結合子を用いて構成される。結合子の例として以下がある: 単項否定結合子: が論理式なら、 も論理式である。 古典的な二項結合子 : 例えば と が論理式なら も論理式である。 NAND、NOR、XOR などの他の二項結合子 三項結合子 IF ... THEN ... ELSE ... 定数の0項結合子 ⊤ と ⊥（あるいは定数 {T, F}, {1, 0} など） 「理論拡張」結合子 EQUALS（あるいは IDENTITY、または記号「=」—論理結合子 とは区別される）
修辞学・哲学・数学の結合子 以下に、修辞学・哲学・数学に共通する結合子とその真理表を示す。使用される記号は著者や分野によって異なる。一般に「T」と「F」の略語は命題論理式の変数に適用される真・偽の評価を表す（例: 「あの牛は青い」という主張は「T」（真）または「F」（偽）の真理値を持つ）。
結合子には様々な言葉の用法がある。例えば「a IMPLIES b」は「IF a THEN b」とも言われる。これらのいくつかを表に示す。
b only if a b IS SUFFICIENT FOR a b PRECISELY WHEN a IS NECESSARY FOR b b IF AND ONLY IF a; b IFF a inclusive OR IF b THEN a b IS NECESSARY AND SUFFICIENT FOR a negation negation conjunction disjunction implication biconditional variables NOT b NOT a b AND a b OR a b IMPLIES a b IS logically equivalent TO a *** f IS A tautology NEITHER a NOR b b stroke a exclusive OR b a ¬(b) ¬(a) (b ∧ a) (b ∨ a) (b → a) (b ↔ a) (f = formula) (a NOR b) (b|a) various F F T T F F T T T T T F F T T F F T T F T F T T T F F T F T F F T F T T T T F F T T T T T F F F
工学的結合子
一般に、工学的結合子は数学の結合子と同じであるが、「1」=「T」、「0」=「F」として評価する傾向がある。これは最小項とカルノー図（後述）の概念を用いた論理式の分析・最小化および合成のためである。エンジニアはまた、ブールの概念（a*a = a）に由来する論理積と、ジェボンズの概念（a+a = a）に由来する論理和という言葉を用いる。論理積の概念は特別奇妙ではないが（例: 0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1）、（1+1=1 は奇妙である。実際 (a "+" b) = (a + (b - a*b)) であり、「+」は「論理和」だが、+ と - は算術的な対応物である。(cf p. 146 in John Wakerly 1978, Error Detecting Codes, Self-Checking Circuits and Applications, North-Holland, New York, pbk.)
logical product logical sum half-adder(no carry) exclusive OR row number variables NOT NOT AND OR NAND NOR XOR b*21+a*20 b a ~(b) ~(a) (b & a) (b ∨ a) ~(b & a) ~(b ∨ a) ⊕ 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 3 1 1 0 0 1 1 0 0 0
CASEコネクティブ: IF ... THEN ... ELSE ... IF ... THEN ... ELSE ... 結合子は、再帰理論と計算理論における CASE 演算子の最も単純な形として現れ、条件付きジャンプ（ゴートゥー、分岐）を担う結合子である。この1つの結合子から他のすべての結合子を構成できる（後述参照）。「IF c THEN b ELSE a」は含意のように聞こえるが、最も縮減された形では「a」または「b」の2つの代替のいずれかを決定して提供するスイッチである（C言語のswitch文という名称の由来）。カルノー図をよく見ると、IF...THEN...ELSEは2つの排他的論理和を使ってやや迂回した方法で表現することもできる: ( (b AND (c XOR a)) OR (a AND (c XOR b)) ) = d.
以下の3つの命題は等値である（論理的同値記号 ≡ で示される）:
( IF 'カウンタがゼロ' THEN '命令 b に進む' ELSE '命令 a に進む') ≡ ( (c → b) & (~c → a) ) ≡ ( ( IF 'カウンタがゼロ' THEN '命令 b に進む' ) AND ( IF 'カウンタがゼロでない' THEN '命令 a に進む') ) ≡ ( (c & b) ∨ (~c & a) ) ≡ ( ('カウンタがゼロ' AND '命令 b に進む') OR ('カウンタがゼロでない' AND '命令 a に進む') )
したがって IF ... THEN ... ELSE は—含意とは異なり—最初の命題が偽（(c → b) の c = F）のときに曖昧な「真」に評価されることがない。例えば、多くの人が以下の複合命題を無意味なノン・セクイトゥルとして拒絶するだろう。2番目の文が最初の文と意味的につながっていないからである。Robbin p. 3. 例: 「'ウィンストン・チャーチルは中国人だった'ならば'太陽は東から昇る'」という命題は、「ウィンストン・チャーチルは中国人だった」が偽であり「太陽は東から昇る」が真であることから、真に評価される。
この問題を認識して、命題論理における形式的含意の記号 → は、日常的・直感的な含意と区別するために実質的含意と呼ばれる。
IF ... THEN ... ELSE 構成を用いることで論争を避けられる。なぜなら2つの明示された代替間で完全に決定論的な選択を提供するからである; 2つの「オブジェクト」（代替 b と a）を提供し、それらの間を網羅的かつ明確に選択する。実際、代替間の網羅的選択—相互排除—は Kleene が CASE 演算子に与える定義によって要求される（Kleene 1952:229） 以下の真理表において、d1 は論理式 ( (IF c THEN b) AND (IF NOT-c THEN a) ) であり、完全に縮減された形 d2 は論理式 ( (c AND b) OR (NOT-c AND a) ) である。2つの論理式は「=d1」と「=d2」の列に示されるように等価である。電気エンジニアは完全縮減論理式を AND-OR-SELECT 演算子と呼ぶ。CASE（またはSWITCH）演算子は同じ発想をn個の可能だが相互排他的な結果に拡張したものである。電気エンジニアは CASE 演算子をマルチプレクサと呼ぶ。
d1 d2 row c b a ( ( c → b ) & ( ~ ( c ) → a ) ) =d1 ( ( c & b ) ∨ ( ~ ( c ) & a ) ) =d2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 5 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 6 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 7 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
IDENTITY and evaluation
The first table of this section stars *** the entry logical equivalence to note the fact that "Logical equivalence" is not the same thing as "identity". For example, most would agree that the assertion "That cow is blue" is identical to the assertion "That cow is blue". On the other hand, logical equivalence sometimes appears in speech as in this example: " 'The sun is shining' means 'I'm biking' " Translated into a propositional formula the words become: "IF 'the sun is shining' THEN 'I'm biking', AND IF 'I'm biking' THEN 'the sun is shining'":The use of quote marks around the expressions is not accidental. Tarski comments on the use of quotes in his "18. Identity of things and identity of their designations; use of quotation marks" p. 58ff. "IF 's' THEN 'b' AND IF 'b' THEN 's' " is written as ((s → b) & (b → s)) or in an abbreviated form as (s ↔ b). As the rightmost symbol string is a definition for a new symbol in terms of the symbols on the left, the use of the IDENTITY sign = is appropriate: ((s → b) & (b → s)) = (s ↔ b)
Different authors use different signs for logical equivalence: ↔ (e.g. Suppes, Goodstein, Hamilton), ≡ (e.g. Robbin), ⇔ (e.g. Bender and Williamson). Typically identity is written as the equals sign =. One exception to this rule is found in Principia Mathematica. For more about the philosophy of the notion of IDENTITY see Leibniz's law.
As noted above, Tarski considers IDENTITY to lie outside the propositional calculus, but he asserts that without the notion, "logic" is insufficient for mathematics and the deductive sciences. In fact the sign comes into the propositional calculus when a formula is to be evaluated.Hamilton p. 37. Bender and Williamson p. 29 state "In what follows, we'll replace "equals" with the symbol " ⇔ " (equivalence) which is usually used in logic. We use the more familiar " = " for assigning meaning and values."