音楽同型（おんがくどうけい、）は、数学、特に微分幾何学において、リーマン多様体または擬リーマン多様体の計量テンソルによって誘導される、その接バンドル と余接バンドル の間の同型写像である。シンプレクティック多様体上にも同様の同型が存在する。
一般の（有限次元）ベクトル空間とその双対空間との間には、基底の取り方によらない標準的な同型は存在しない。しかし、内積のような非退化双線型形式を備えたベクトル空間においては、この形式を用いて標準的な同型を構成することができる。音楽同型は、この構成を（擬）リーマン計量が与える各点ごとの非退化対称双線型形式（内積や擬内積）の構造を用いて、多様体全体に滑らかに拡張したものとみなすことができる。
この幾何学的な大域的同型写像は、局所的な座標成分を用いたや数理物理学など、テンソルの成分計算を多用する文脈においては、添字の上げ下げというテンソル式における添字操作として表現される。幾何学的な視点に基づく「音楽同型」と、成分計算に基づく「添字の上げ下げ」は、同一の数学的構造を異なる側面から記述したものである。
「音楽」という用語は、この同型を構成する写像の記号に由来する。すなわち、反変成分（上付き添字）を共変成分（下付き添字）に変換する操作（接束から余接束への写像）を、音を半音下げるフラット に見立て、逆に添字の位置を上げる操作（余接束から接束への写像）を音を半音上げるシャープ に見立てて、これらの音楽記号を使用していることによる。
動機 線形代数学において、有限次元ベクトル空間はその双対空間（ベクトル空間をその基礎体へ写す線形汎関数の空間）と同型であるが、標準的ではない。このベクトル空間の固定された基底が与えられたとき、ベクトルと線形形式の間を行き来する自然な方法が存在する。すなわち、基底におけるベクトルは列ベクトルによって表現され、基底における線形形式は行ベクトルによって表現され、同一視は転置によって行われる。
一方で、非退化な双線型形式 を備えた有限次元ベクトル空間 は、その双対空間と標準同型である。これは、双線型形式が一方の変数を固定するごとに、他方の変数に関する線形汎関数を一つ定めるためであり、非退化性によりこの対応が全単射となることによる。標準同型 は次によって与えられる。
一例として、 であり、 がドット積である場合が挙げられる。
計量が与えられた滑らかな多様体上においては、この線形代数的な同型を各接空間に適用することにより、滑らかな多様体上の接バンドルがその余接バンドル（すなわち接バンドルの双対）と同型となる（ただし、この同型は計量の選び方に依存するため、計量を持たない多様体そのものに対して標準的に定まるわけではない）。
抽象的には、音楽同型は双線型形式のカリー化として理解することができる。関数解析学の観点からは、この同型はリースの表現定理の有限次元における具体例とみなすことができる。リースの表現定理は、ヒルベルト空間とその双対空間の間に自然な同型が存在することを保証する。各接空間 を、計量 を内積とする有限次元の実ヒルベルト空間とみなしたとき、定理が与える同型写像がフラット（）であり、その逆写像がシャープ（）に相当する。量子力学で用いられるブラ-ケット記法において、ケットベクトルをブラベクトルに変換する操作も、エルミート内積を用いた類似の同型対応（ただし複素共役を伴う反線形同型）とみなすことができる。
定義と性質 を（擬）リーマン多様体とする。各点 において、写像 は接空間 上の非退化双線型形式である。 が 内のベクトルであるとき、その「フラット」は 内の余ベクトル
である。これは点 を保存する滑らかな写像であるため、滑らかなベクトルバンドルの射 を定義する。計量の非退化性により、 は各点において逆写像 を持ち、それは
によって特徴づけられる。ここで は 内にあり、 は 内にある。ベクトル は の「シャープ」と呼ばれる。シャープ写像は滑らかなバンドル写像 である。
フラットとシャープは互いに逆な滑らかなベクトルバンドルの同型写像であり、したがって 内の各 について、 と の間には互いに逆なベクトル空間同型が存在する。
フラットとシャープの写像は、各点に適用することによりベクトル場および余ベクトル場に適用することができる。したがって、 がベクトル場であり、 が余ベクトル場であるとき、
および
である。
成分表示と添字の上げ下げ 計量を持たない一般の多様体においては、接ベクトルと余接ベクトルは空間の変換則が異なる別の幾何学的対象である。しかし、計量が与えられると同型対応が定まり、これらを相互に変換することが可能となる。
局所的な基底 において、この同型写像はテンソルの成分を用いて次のように記述できる。 を非退化双線型形式（計量）の成分とし、 を の逆行列の成分とする。 を の双対基底とする。ベクトル はアインシュタインの縮約記法を用いて基底において と書かれる。すなわち、 は基底において成分 を持つ。ベクトル に適用された標準同型は双対の元を与え、これは余ベクトルと呼ばれる。余ベクトルは、 との縮約によって与えられる双対基底において成分 を持つ。
これが添字を下げるという意味である。逆に、余ベクトル と の逆行列との縮約は、基底 において次の成分を持つベクトルを与える。
このプロセスは添字を上げることと呼ばれる。アインシュタインの縮約記法においては、縮約は上付き添字と下付き添字の対に対して行われる。したがって、 のように上付きと下付きの添字が対になる式は有効な表現であるが、 のように下付き添字同士の縮約は通常の規約では行われない。
同じ添字を上げてから下げること（あるいはその逆）は逆の操作であり、これは と が互いに逆であることに反映されている。
ここで はクロネッカーのデルタ（すなわち単位行列の成分）である。
ベクトル解析の演算子との関係 3次元の空間（より一般には向き付けられた3次元リーマン多様体）において、音楽同型と外微分 、およびホッジスター作用素 を組み合わせることで、ベクトル解析における基本的な演算子である勾配（）、回転（）、発散（）、ラプラス作用素（）、クロス積（）、ドット積（内積）、スカラー三重積、およびベクトル三重積を座標によらない形で表現することができる。通常のユークリッド座標に基づくベクトル解析の公式は直交座標系に依存した記述であるのに対し、この定式化により、これらの演算子を任意の座標系や、より一般のリーマン多様体上へと拡張して考えることが可能になる。関数 およびベクトル場 、、 に対して、以下の関係が成り立つ。
これらに対し、様々な公式が得られる。
テンソル積への拡張 音楽同型は、任意の について、
で表される テンソルのバンドルと、 テンソルのバンドルとの間の同型へと拡張することもできる。ここで は、 および である限り、正であっても負であってもよい。
テンソルの添字を1つ下げると テンソルになり、添字を1つ上げると テンソルになる。どの添字を上げ下げするかを指定しなければならない。
例えば、(0, 2) テンソル を考える。第2添字を上げると、(1, 1) テンソル
が得られる。言い換えれば、 の成分 は次のように与えられる。
他の階数のテンソルについても同様の公式が成り立つ。例えば、 テンソル については、すべての添字が次のように上げられる。
テンソル については、すべての添字が次のように下げられる。
階数 の混合テンソルについては、すべての下付き添字が上げられ、すべての上付き添字が次のように下げられる。
テンソルのトレース テンソル が与えられたとき、計量テンソル を通じた のトレースを次のように定義する。
計量テンソルが対称であるため、トレースの定義は上げる添字の選択に依存しないことに注意されたい。
テンソルのトレースも、どの2つの異なる添字のトレースを取るかを指定する限り、同様の方法で取ることができる。このプロセスは2つの添字の縮約とも呼ばれる。例えば、 が を満たす テンソルである場合、添字 と を縮約して、次の成分を持つ テンソルを得ることができる。
k-ベクトルおよび k-形式への拡張 外積代数の文脈において、音楽演算子の拡張は およびその双対 上に定義することができ、これらも互いに逆写像である。
これらは次によって定義される。
この拡張において、 は k-ベクトルを k-余ベクトルに写し、 は k-余ベクトルを k-ベクトルに写す。完全反対称テンソルのすべての添字が同時に上げ下げされるため、どの添字を示す必要もない。
これは線形代数の文脈における k-ベクトルに対してだけでなく、（擬）リーマン多様体の文脈における k-形式に対しても成り立つ。
向き付けられた n 次元（擬）リーマン多様体上には、計量から定まる自然な体積形式 が存在する。2つの k-形式 と の内積 は、シャープ演算を用いて （すなわち、 を k-ベクトルに変換し、それを k-形式 で評価したもの）として定義できる。この内積を用いることで、任意の k-形式 に対するホッジスター作用素 （これは (n−k)-形式である）は、すべての k-形式 に対して
を満たす一意の形式として定義される。
共変微分との可換性 （擬）リーマン多様体上のレヴィ・チヴィタ接続（共変微分） は計量と両立する（すなわち ）ため、音楽同型による添字の上げ下げの演算と可換である。任意のベクトル場 およびテンソル場 に対して、以下が成り立つ。
この可換性により、テンソル解析において共変微分の演算を行う際、どの段階で添字を上げ下げしても計算結果が一意に保たれることが保証される。
共形変換における振る舞い 多様体上の計量を別の計量に置き換えた場合、それに伴って音楽同型も変化する。特に、滑らかな正の関数 を用いて計量を と変換する共形変換を考える。このとき、任意のベクトル場 に対する新たなフラット写像は、
となり、元の1-形式の 倍となる。一方、共形変換された計量の逆行列は となるため、任意の1-形式 に対する新たなシャープ写像は、
となる。
シンプレクティック幾何学への応用 シンプレクティック幾何学においても、接バンドルと余接バンドルの間に同様の同型を構成することができる。ここでは、非退化で閉じた2-形式であるシンプレクティック形式 が、計量テンソルに代わって同型を誘導する双線型形式としての役割を担う。前述のリーマン計量の場合と同様、これは非退化双線型形式による接バンドルと余接バンドルの間の同型という共通の枠組みに属する。ただし、計量テンソルが対称であるのに対し、シンプレクティック形式は反対称（交代形式）であるという相違があり、縮約を取る際にどちらの引数にベクトルを代入するかによって符号が変わる点に注意が必要である。
シンプレクティック多様体 上の任意の点 において、 は接空間 上の非退化な交代双線型形式を与える。これによっても、リーマン多様体の場合と同様に、接バンドルと余接バンドルの間の同型が導かれる。一般に、ベクトル のフラットは または として定義されるが、用いる規約によって符号が異なる。
ハミルトニアン が与えられたとき、その外微分 は1-形式（余ベクトル場）である。これにシャープ演算を適用して得られるベクトル場 を、ハミルトンベクトル場と呼ぶ。すなわち、 は
を満たすベクトル場として定義される。局所正準座標 においては、この音楽同型による構成はハミルトン力学における標準的な正準方程式
を再現する。
解析力学におけるルジャンドル変換との関係 解析力学において、音楽同型は多様体上の速度（接ベクトル）と運動量（余接ベクトル）を関連付けるルジャンドル変換（ファイバー微分）と関係している。
ラグランジュ力学の舞台となる接束 と、ハミルトン力学の舞台となる余接束 の間の移行は、ラグランジアンからハミルトニアンへのルジャンドル変換によって行われる。一般のルジャンドル変換は非線形な写像となり得るが、運動エネルギーが計量による二次形式で与えられ、ポテンシャルエネルギーが速度に依存しない標準的な力学系を考える場合、この変換における速度と運動量の関係は音楽同型と一致する。
多様体 上にリーマン計量 が与えられているとき、ポテンシャルエネルギー を持つ粒子のラグランジアン は次のように書ける。
このラグランジアンに対してルジャンドル変換を適用し、位置 における速度ベクトル の共役運動量（余接ベクトル） の成分 を計算すると、ポテンシャル項は速度に依存しないため、
となる（計量の成分 も速度 には依存しないため）。この結果は、計量を用いた音楽同型のフラット（）による添字の引き下げの演算 と一致しており、 と表される。
同様に、この運動量を用いて構成されたハミルトニアンから速度を運動量で表す逆ルジャンドル変換は、逆行列 を掛ける操作（）となり、音楽同型のシャープ（）を用いて と書き表される。すなわち、音楽同型はラグランジアンが計量による運動エネルギーとして与えられる物理モデルにおける、ルジャンドル変換の線形な特別なケースとみなすことができる。
一般化と束準同型 通常の（擬）リーマン多様体やシンプレクティック多様体においては、計量テンソルやシンプレクティック形式が定義により至る所非退化であるため、これらから誘導される写像は全単射（同型）となる。しかし、ポアソン多様体やプレシンプレクティック多様体といったより一般的な枠組みにおいては、対応関係を誘導するテンソル場（ポアソンバイベクトルなど）が多様体上の一部の点、あるいは至る所で退化しうる。そのような場合、誘導される写像 や は全単射とならず、したがって厳密には同型ではなく束準同型となる。
計算例 2次元ユークリッド空間の極座標系 2次元ユークリッド空間 における極座標系 を考える。この空間における線素の2乗は で与えられるため、計量テンソル は次のように表される。
行列表示では、成分 は次のようになる。
その逆行列である成分 は次の通りである。
任意のベクトル場 （基底は ）を、1-形式（余ベクトル場）へ変換するフラット演算 を計算する。成分は で与えられるため、
となる。したがって、フラット演算の結果得られる1-形式は次のようになる。
逆に、任意の1-形式 （基底は ）をベクトル場へ変換するシャープ演算 を計算する。成分は で与えられるため、
となる。したがって、シャープ演算の結果得られるベクトル場は次のようになる。
ミンコフスキー時空において 以下は特殊相対性理論における平坦なミンコフスキー時空を舞台とした計算例である。一般相対性理論における曲がった時空上では、計量テンソル は一般に座標に依存する非自明な関数となり、添字の上げ下げの操作もその局所的な計量テンソルを用いて行われる。
反変4元位置は、座標そのものから次のように与えられる。
成分は次の通りである。
ここで , , は通常のデカルト座標である。符号の規約を (− + + +) とした場合のミンコフスキー計量テンソルは次のように定義される。
成分表示では、
である。 フラット演算（）を適用して添字を下げるには、計量テンソルを掛けて縮約する。これにより得られる共変ベクトル の成分は次のようになる。
ここで のとき、
であり、 のとき、
である。
したがって、フラット演算によって添字が下げられた共変4元位置は、成分表示で次のようになる。
この演算は行列の積に相当する。
2つのベクトル と （成分を , とする）が与えられたとき、それらの（擬）内積を次の2つの方法で書くことができる。
一方のベクトルに対してフラット演算（）を行い、添字を下げることにより、この式を次のように書くことができる。
行列記法では、列ベクトルを転置して行ベクトルとして表すことで、最初の式は次のように書ける。
一方、2番目の式は、 の添字を下げて共変ベクトル（行ベクトル）とした後では、次のように書ける。
一般相対性理論における曲がった時空 一般相対性理論においては、時空が曲がっているため、計量テンソルは定数ではなく座標に依存する関数となる。例として、質量 の球対称な質量分布の外部の時空を記述するシュワルツシルト計量を考える。座標系を 、光速度を 、万有引力定数を 、シュワルツシルト半径を とすると、計量テンソルの非ゼロ成分は次のように与えられる。
任意の反変4元ベクトル場 （成分表示で ）に対し、フラット演算（）を用いて共変ベクトル場 に変換すると、添字を下げた成分 は座標 や に依存する形で次のように計算される。
このように、曲がった時空では音楽同型による変換係数が位置によって変化する。
電磁気学における応用 電磁場テンソルのような (0, 2) テンソルに対しては、2つの添字それぞれについて逆計量テンソルと個別に縮約を行うことで、両方の添字が同時に上げられる。特殊相対性理論における平坦なミンコフスキー時空を考える場合、計量テンソルとしてミンコフスキー計量 を用いると、以下のように書ける。
同様に、2つの添字それぞれについて計量テンソルと個別に縮約を行うことで、両方の添字が同時に下げられる。
この一般則を電磁気学の理論に適用した例を示す。
符号の規約を とした場合の反変電磁場テンソルは次のように与えられる注意: などのいくつかの教科書では、このテンソルに全体として −1 の因子がついている。これは、ここで使用されているものとは逆の計量テンソル を使用しているためである（符号の規約を参照）。ジャクソン（第2版）のような古い教科書では、ガウス単位系を使用しているため の因子は現れない。ここではSI単位系が使用されている。。
成分表示では、
である。
共変テンソル を得るには、計量テンソルと縮約する。
そして および であるため、これは次のように簡約される。
ここで , のとき、
となり、反対称性により , のとき、
となる。 そして最後に , のとき、
となる。
したがって、（共変な）下付き添字のテンソルは次のようになる。
関連項目 双対 双対ベクトル空間 アインシュタインの縮約記法 フラットおよびシャープ ホッジスター作用素 計量テンソル ベクトルバンドル
脚注
参考文献