ラドンの定理（ラドンのていり、）はヨハン・ラドンが1921年に発表した凸集合に関する幾何学の定理である。 凸包の共通部分に含まれる点を集合のラドン点 () という。
例えば であるとき、ユークリッド平面上の4点から成る任意の集合は、凸包が交わるように次のいずれかの方法で分割できる。一方では1点と3点に分割して、3点の凸包となる三角形が1点を含む。もう一方では2点ずつに分割して、凸包は交わる線分となる。
証明と構成 次元ユークリッド空間 上の 点から成る集合 を考える。 個の未知数 に対する 本（1番目の式の各座標に対する方程式 本と2番目の式の1本）の連立方程式
は、どの未知数も0でないような解を持つ。どの未知数も0でない解 を固定する。 が正である点 の集合を として、 を と （差集合）に分割する。
の凸包は、の点の凸結合で表される点
を含む。ここで、
である。よって の凸包は交わる。以上でラドンの定理が示された。
この証明では連立方程式によって凸包の交点を具体的に構成する。したがって、掃き出し法等を用いてラドン点を求めることができる。
位相的ラドンの定理 ラドンの定理を次のように換言できる。
の頂点集合の像によって は一意に定まるため、この主張は元の主張と同等である。形式的に書けば次のようになる。 が の頂点 を へ送るとする。 を、元の主張のように2つの交差しない集合 に分割する。 がアフィンであることから、 の凸包は で張られる面の像となる。 についても同様である。この2つの面は交差せず、その による像は交差する。よって元の主張と上記の主張は同等である。
位相的ラドンの定理はこの主張の一般化である。 をアフィン写像から連続写像へ拡張する。
より一般に、 次元のコンパクトな凸集合 から への任意の連続写像 について、ある線型写像 が存在して、 が最大値をとる点と最小値をとる別の点がいずれも で同一の点に移される。 が単体であるとき、最大・最小値をとる点で定まる2つの面は交差せず、そのによる像は交差する。この定理を超球面に適用すると、の値が等しいあるの対の存在を主張するボルスク・ウラムの定理を得る。
証明 位相的ラドンの定理は、エルヴィン・バイモーツィ () とによって初めて示された。
次元球面 から への連続写像 であって、球面上の任意の点 で と が の交わらない2つの面上に位置するものを構成する。 ボルスク・ウラムの定理を に適用し、 となる球面上のある点 を得る。 は の交差しない2面上の点であり、によって の同一の点に移される。よって2つの面の像は交差する。
ロヴァース・ラースローとによって別証明が与えられている。その後、が3番目の証明を示した。
を単体 、 を の （交差しない面の非交和からなる）とする。 の幾何学的実現は球面 と同相である。よって の指数は と等しい。 任意の単体複体 について、 の指数が より大きければ、任意の連続写像 での交差しない2面の像は交差する。この定理から位相的ラドンの定理が導かれる。
応用 平面上の4点のラドン点は、距離の和を最小化するとなる。
ラドンの定理はヘリーの定理の標準的な証明に用いられる。ラドン自身はヘリーの定理の証明を契機としてラドンの定理を考案した。
ラドンの定理は線型分離に関するの計算にも使用できる。 次元の 点の集合には、任意の2つの非空部分集合が超平面で互いに分離可能であるようなもの（例えば正単体の頂点集合）が存在する。しかし、 点ではラドンの定理の示す分割のために、そのような集合は存在しない。よってVC次元はちょうど であるEpsilon-nets and VC-dimension, Lecture Notes by Marco Pellegrini, 2004.。
点の集合をそのラドン点で繰り返し置き換える乱択アルゴリズムによって、任意の点集合の の近似を点の個数と次元の双方に関する多項式時間で求めることができる。
関連する概念 幾何中央点 1次元ユークリッド空間（実数直線）の3点のラドン点は中央値となる。点のは各点からの距離の和を最小化する点で、1次元における中央値の一般化の一つである。やの観点から研究されている。4点の集合においてもラドン点と一致する。
トウェルベルグの定理 ノルウェーの数学者により示された個への分割に対する一般化はと呼ばれる。 上の 点の集合において、凸包が少なくとも1点で交わるような 個の部分集合へ分割できることを主張する。ラドンの定理と同様に、位相的な一般化が示されている。
カラテオドリの定理 カラテオドリの定理は、点集合の凸包内の任意の点は、点集合の高々 点からなる部分集合の凸包にも含まれることを主張する。証明もラドンの定理と同様に連立方程式を用いることができる。
凸幾何 ラドンの定理に関連する結果は、と呼ばれる、族に含まれる任意の2つの集合の共通部分、空集合、族に含まれる全ての集合の和集合もまた族に含まれるという性質を持つ有限集合の族においても研究されている。より一般に、集合の凸包はを含む族の全ての要素の共通部分として定義される。点からなる任意の部分集合2つの凸包が交わる最小の整数 をその空間のラドン数という。同様の方法で、ヘリー数 、カラテオドリ数 が定義される。不等式 が成立する。
グラフにおけるラドンの定理 無向グラフにおいて、凸集合を集合内の頂点の対を結ぶ全ての誘導パスを含む頂点集合と定義できる。グラフ内の 頂点の任意の集合を凸包が交わるような2つの部分集合に分割することができる（ はグラフのクリーク数）。この操作が行える最小の頂点数は である。誘導パスの代わりに最短経路を用いた場合についても研究されている。
出典
参考文献
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