数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、高・劉の定数（こう・りゅうのていすう、）または高・劉定数とは、ノルム空間（バナッハ空間）の一様非正方形性（uniformly non-squareness）や空間の幾何学的歪みを定量的に評価する数値指標である。一般に記号 で表される。
1990年に数学者の高（Ji Gao）と劉家成（Ka-Sing Lau）によって導入されたGao, J., & Lau, K. S. (1990). On the geometry of spaces. *Journal of Mathematical Analysis and Applications*, 153(1), 255–265.。
動機 バナッハ空間論および非線形解析学（特に不動点理論）において、空間の単位球の幾何学的構造（凸性、平坦さ、一様非正方形性など）を把握することは極めて重要である。
1960年代にによって導入された一様非正方形性は、バナッハ空間が超回帰的（super-reflexive）であり、回帰的空間となるための十分条件を与える。
高と劉は、単位球面上（または単位球内）の2つのベクトル が距離制限 を満たすとき、それらの和 がどの程度大きくなり得るかを測定する指標 を考案した。この定数を用いることで、一様非正方形性や不動点性質（fixed point property）を特徴付ける新たな幾何学的基準が得られた。
定義 ノルム空間 （ただし ）に対し、高・劉の定数 は次のように定義される：
単位球体（）に制限した定義も同値である：
主要な性質 値の範囲: 任意の次元 2 以上のノルム空間 に対して、常に以下が成り立つ：
一様非正方形性と超反射性の特徴付け: バナッハ空間 が一様非正方形であるための必要十分条件は、
が成り立つことである。したがって、 を満たすバナッハ空間 は超回帰的であり、回帰的空間となる。 双対性: バナッハ空間 とその双対空間 の高・劉の定数の間には深い相互関係が存在し、特に一方の空間で であれば、双対空間でも となる。
具体例 ヒルベルト空間 がヒルベルト空間（内積空間）である場合、中線定理より かつ のとき となるため、最小値をとる：
Lp 空間 に対し、 空間（および 空間）の高・劉の定数は次のように与えられる：
（ヒルベルト空間）： または ：
連続関数空間 C(K) 2点以上を含む位相空間 上の連続関数空間 においては である。
他のバナッハ空間定数との関係 高・劉の定数は、他の幾何学的定数と以下の不斉関係を持つ：
ジェームズ定数 : 常に や関連する相互評価が成立する。 フォンノイマン・ジョルダン定数 : フォンノイマン・ジョルダン定数とも評価式を介して結びついており、バナッハ空間の幾何学的歪みの精密な定量化に用いられる。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 ジェームズ定数 フォンノイマン・ジョルダン定数 ダンクル・ウィリアムズ定数 一様凸空間 回帰的空間
参考文献