数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、シンガー直交（シンガーちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念の一つである。
1957年にルーマニアの数学者ヴァン・シンガーによって導入されたSinger, I. (1957). Sur la orthogonalité dans les espaces de Banach. *Bul. Ştiinţ. Acad. R. P. Romîne*, 9, 439–445.。等脚直交の持つ非斉次性を改善し、スカラー倍に関する不変性を備えた対称な直交概念として提案された。
動機 ヒルベルト空間（内積空間）において、2つの非ゼロベクトル が直交すること（）は、それらを正規化した単位ベクトル と の和と差のノルムが等しいこと、すなわち
と同値である。
等脚直交（）はノルム空間における直交性の定義として直観的であるが、一般のバナッハ空間ではスカラー倍に対して閉じない（斉次性 を満たさない）という難点があった。シンガーは、ベクトルをあらかじめ各々のノルムで正規化してから等脚性を課すことにより、対称性と斉次性の双方を満足する直交概念としてシンガー直交を定式化した。
定義 ノルム空間 の非零ベクトル に対し、 と がシンガー直交する（Singer orthogonal）とは、次が成立することをいい、 と表記する：
なお、 または の場合は常に が成り立つと定める。
主要な性質 シンガー直交性は、標準的な直交概念（内積）が備える好ましい代数的性質を複数保持している。
対称性（Symmetry）: 定義式より明らかに、任意の に対して常に対称性が成り立つ：
斉次性（Homogeneity）: 任意のスカラー に対して斉次性が成り立つ：
これは、等脚直交やピタゴラス直交が斉次性を欠くのとは対照的である。
他の直交概念との関係 等脚直交との関係: 定義より、 であるための必要十分条件は、正規化された単位ベクトル同士が等脚直交すること（）である。また、 の場合に限り、シンガー直交と等脚直交は一致する。 ロバーツ直交との関係: ロバーツ直交（）であれば、必ずシンガー直交する（）。
内積空間の特徴付け シンガー直交性が加法性（ かつ ）を満たすか、あるいはバーコフ＝ジェームズ直交などの他の主要な直交概念と常に一致するための必要十分条件は、次元が 3 以上のノルム空間においてはその空間がヒルベルト空間（内積空間）であることであるAmir, D. (1986). *Characterizations of Inner Product Spaces*. Birkhäuser Basel.。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 等脚直交 バーコフ＝ジェームズ直交 ロバーツ直交 ピタゴラス直交 カールソン直交
参考文献