数学の関数解析学におけるアソシエイト空間（アソシエイトくうかん、）またはケーテ双対（ケーテそうつい、）は、バナッハ関数空間に対して定義される、関数の積分を通じて構成される双対的な関数空間である。
位相解析学における一般的な位相的双対空間 が抽象的な線形汎関数の空間であるのに対し、アソシエイト空間 はそれ自体が再び可測関数の空間となるように作られており、関数空間論や補間空間理論において中心的な役割を果たすColin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988, Chapter 1.。
動機 バナッハ空間 の連続的双対空間（位相的双対空間） は、 上の連続線形汎関数全体の空間として一般的に定義される。しかし、可測関数の空間（例えばルベーグ空間 ）において位相的双対空間を考えると、極限操作や非可測集合に起因する抽象的な汎関数（特異汎関数）が含まれてしまい、その要素を単純な積分 の形の「関数 」として表現できない場合がある。
例えば、 の位相的双対空間 は よりも真に大きく、有限加法的測度上の積分で表現される複雑な汎関数が含まれる。
これに対し、積分作用素
を通じて自然に連続線形汎関数を定義できる関数 全体の集合に着目したものがアソシエイト空間である。アソシエイト空間は常に具象的な関数の集合として記述され、関数解析や調和解析、偏微分方程式の解の正則性評価などにおいて扱いやすい双対性を提供する。
定義 測度空間 上のバナッハ関数空間 とする。
可測関数 に対し、そのアソシエイト・ノルム（associate norm） は以下のように定義される。
アソシエイト・ノルムが有限値をとる可測関数全体の集合
を のアソシエイト空間（またはケーテ双対）と呼ぶ。 自身も同一の測度空間上のバナッハ関数空間となる。
性質 バナッハ関数空間 とそのアソシエイト空間 について、以下の基本的な性質が成り立っている。
ヘルダーの不等式 任意の および に対して、以下のヘルダーの不等式が成立する。
ローレンツ＝ルクセンブルクの定理 アソシエイト空間のアソシエイト空間（二重アソシエイト空間） を考えると、 は元のバナッハ関数空間 と等長同型になるW. A. J. Luxemburg, Banach Function Spaces, Thesis, Delft Technical University, 1955.。
この性質は、バナッハ空間における回帰性のアソシエイト空間版とみなすことができる。
連続的双対空間との関係 アソシエイト空間 の各要素 は、対応 によって位相的双対空間 の要素（連続線形汎関数）と自然に埋め込みができる。
しかし一般に、 と は等しいとは限らない。両者が一致（等長同型）するための条件は、 のノルム構造と密接に関連している。
等長同型の条件: 位相的双対空間がアソシエイト空間と等長同型（）であるための必要十分条件は、 が絶対連続なノルム（absolutely continuous norm）を持つことであるColin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988, pp. 19-23.。 反射性との関係: バナッハ関数空間 がバナッハ空間として回帰的（）であるための必要十分条件は、 およびそのアソシエイト空間 の双方が絶対連続なノルムを持つことである。
汎関数の積分表現とラドン＝ニコディムの定理 古典的なルベーグ空間 （）におけるリースの表現定理（）は、アソシエイト空間と連続双対空間が一致する典型例である。この表現定理の証明の核心を担うのがラドン＝ニコディムの定理である。
一般のバナッハ関数空間 においても、任意の連続線形汎関数 がある可測関数 を用いて
と積分表示できるかという問題は、以下のように測度論的な観点から解釈される。
1. 符号付き測度の構成: 可測集合 の精細関数（定義関数） が に属するとき、連続線形汎関数 に対して集合関数 を定義する。
2. 絶対連続性の継承: のノルムが絶対連続である場合、測度 ならばノルム となるため、汎関数の連続性から が導かれる。すなわち、符号付き測度 は基本測度 に対して絶対連続（）となる。
3. ラドン＝ニコディム微分の存在: がσ-有限測度であれば、ラドン＝ニコディムの定理により、 を満たす可測関数（密度関数） が一意的に存在する。
4. アソシエイト空間への所属: この密度関数 はアソシエイト・ノルムの定義を満たし、 となる。
このように、アソシエイト空間 が連続双対空間 全体を被覆できる（ となる）か否かは、連続線形汎関数から誘導される測度がラドン＝ニコディムの定理を適用できる絶対連続性を備えているかどうかに直結している。
具体例 ルベーグ空間 測度空間 上のルベーグ空間 （）を考える。共役指数を （すなわち ）とするとき、以下が成り立つ。
のとき: * アソシエイト空間: * 位相的双対空間: （ノルムが絶対連続であるためアソシエイト空間と一致） のとき: * アソシエイト空間: * 位相的双対空間: （ のノルムは絶対連続ではないため、双対空間はアソシエイト空間よりも真に大きい）
このように、 の場合であってもアソシエイト空間は単純な 関数として極めて扱いやすい形で表現される。
オルリッチ空間 オルリッチ空間 のアソシエイト空間は、ヤング共役（ルジャンドル変換）によって得られるN関数 に対応するオルリッチ空間 と同型になる。
ローレンツ空間 ローレンツ空間 （）のアソシエイト空間は、共役指数 （）を用いたローレンツ空間 と等長同型になる。
関連項目 バナッハ関数空間 連続的双対空間 ルベーグ空間 バーンバウム＝オルリッチ空間 ローレンツ空間 絶対連続 ラドン＝ニコディムの定理 リースの表現定理 回帰的空間 位相的双対空間
脚注
参考文献 Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, Academic Press, 1988. ISBN 0-12-088730-4. W. A. J. Luxemburg, Banach Function Spaces, Thesis, Delft Technical University, 1955.