世界人口の双曲線的成長則（せいかいじんこうのそうきょくせんてきせいちょうそく）では、世界人口が双曲線にほぼ沿って増加してきたことを主張する経験則と、関連した経緯と議論について述べる。
過去の長期間に渡る世界人口の増加のグラフが直交双曲線で近似できることは、フォン・フェルスターらによる1960年の「ドゥームズデイ」論文により注目され、その後も幾人かの研究者により議論されてきた。こうした双曲線的成長は20世紀半ばまでの世界人口をよく説明する一方で、増加の度合いは指数関数的成長を上回り、数式上、21世紀前半に無限大へと発散する。このため、一部からは、理論は予測性のないもの、現実とは異なるものと批判された。一方、提唱者らは、この理論が投げかけているものとは、長期に人類の人口増加を支えてきた構造が21世紀前半までに限界に達し、社会に根本的な変化がもたらされるという警告であるなどとした。
1960年の「ドゥームズデイ」論文
概要
世界人口の成長が双曲線でよく近似できるという指摘はそれ以前から存在したが、広く知られるようになったのは、サイバネティクス研究者ハインツ・フォン・フェルスターらが1960年に『サイエンス』誌で発表した論文 によってであった。「ドゥームズデイ：西暦2026年11月13日金曜日」と題されたこの論文で著者は、紀元0年から1958年までの当時の推計人口を曲線にあてはめ、世界人口 が、
(☆)
と、ほぼ双曲線で近似できると主張した。
この単純な式は、2000年間に近い人口の推移をよく説明する一方で、論文発表から66年後となる西暦2026.87年（不確かさ±5.50年）に分母が0となり発散する（特異点に達する）。タイトルの「ドゥームズデイ」は本来、最後の審判の日を指し、その特異点を「この世の終わりの日」として表現したものであった。また日付は、この特異点となるとして求められた時刻の代表値を表している。ただし、詳細な日付に学術的意味をもたせたものではなく、年の端数にあたる11月13日がたまたまフォン・フェルスターの誕生日であり、かつ、2026年のその日が不吉とされる13日の金曜日であることから付けられた著者によるユーモアであった。
一般に、時間 に関する（連続とみなせる）正の量 の成長速度 は、指数関数的成長のとき 自身に比例し 、双曲線的成長のとき の2乗に比例する 。個体密度がまばらで豊富な食糧があるなど環境的な制約のない理想郷的条件で生物の個体数は、前者のような単純な指数関数的成長で近似される。こうした増加はあらゆる多項式の増加を追い抜くが、一定倍となる時間は変化せず、有限時間で発散もしない。また、個体密度が上がるなどにより競合が生じる場合に個体群動態学においては、個体の間の関係は相互抑制的なものと考えて、個体数が頭打ちとなるロジスティック曲線（S字曲線）状の推移としてモデル化されることが多い。
これらとは対照的に、 が に比例する1階常微分方程式 （ は正の定数）の一般解は、
で表される形の双曲線となり、積分定数として決まるある時刻 で発散する（解が爆発する）。このように時間発展を記述する微分方程式の解が有限時間で発散することは有限時間爆発と呼ばれる。2乗でない の形の微分方程式も同じ特徴をもち、フォン・フェルスター論文を受けてこの形の方程式をしばしばドゥームズデイ方程式と呼ぶことがある。
フォン・フェルスターは、指数関数的成長や、ロジスティック曲線的飽和と異なり、コミュニケーションが可能な個体群では、個体数とともに連携が多様で効果的なものとなり、生存環境上の問題への対処能力が向上すると想定した。すなわち、（個体当たりの成長速度、個体数の時間による対数微分） が個体数に依存し、 に比例して増加すると仮定した（ は正定数）。このとき、先の近似式 (☆) を導いた人口増加の微分方程式は の形、すなわちドゥームズデイ方程式となる。フォン・フェルスターらは、実際に世界人口データがこのモデルによく適合しており、人口増加のありようは産業革命後に突如始まった人口爆発のようなものではなく、生産構造の異なる時代を跨いで短くとも2000年近く連綿と続いてきたものだったとして、それを連携についての仮説を実証するものとした
背景
イリノイ大学でを設立・主導し、生物の機能をシステム論的に探求するサイバネティクスの背景を持ったフォン・フェルスターの関心は、当初から人口問題にあったわけではなく、構成要素が資源の奪い合いのような相互抑制の代わりに、連携、すなわちコミュニケーションを通じた協力関係を形成できるような集団の振る舞いをモデル化することにあった。そのとき構成された単純なモデルは、弱い連携であっても有限時間爆発という特異な振る舞いを示したが、その検証のためには、人類社会とその人口動態は格好の実例となりえた。
しかし、社会的・時代的文脈では、フォン・フェルスターらの論文は、1960年当時活発化しつつあった人口問題に独自の視点から踏み込んだものとなった。1948年の『』などにより広まった新マルサス主義は、人口増加がやがて地球環境を圧迫し、食糧危機や、環境汚染をまねくため、積極的介入を行うべきことなどを主張してきた。エーリックらの『』が1968年にベストセラーとなったように1960年代後半から1970年代前半にかけて、こうした主張は人々の人口問題への関心の中心となった。こうした動きは、環境問題への関心と歩みをともにしたものの、産児制限など人為的人口抑制政策の主張を介して一部は優生思想や反移民政策への接近も見せることになった。
こうした新マルサス主義的悲観論に対し、フォン・フェルスターらは、過去に人口増加が双曲線的に増大してきたという事実は、人口増加を抑制する制約を人類が技術的・社会的革新によって次々に乗り越えてきたことを示すものだとして、少なくとも（1960年から特異点までの）3世代はそうした危機の克服が妥当し続けるだろうと限定的ながら楽観的見方を支持した。ただし、そのことの帰結は「我々の玄孫たちは飢え死にすることはないだろう。彼らは圧死するだろう」という皮肉な見解であった。しかし、こうしたフォン・フェルスターらの議論からは、主張が冗談だとの印象を受け取る人口学者も多かった。
議論
実際、出生率と死亡率を基礎とし、年齢・性別・地域などへの分解とネットワーク状に依存し合う多数の要因とからなる統計的推定をミクロに積み上げて人口の時間発展を記述する通常の人口学的モデルと比べて、世界人口のみをマクロに取り扱う議論は極めて異なった志向と性格のものであり、さらに現実には生じ得ない特異点をもつモデルには人口学の立場から理解され難い面があった。このため、『サイエンス』誌上で数年にわたりしばしば感情的な批判を混じえた議論が行われた。批判には、例えば「このような理論は現実とは関係がなく、将来の人口予測においてまったく価値がないのは明らかだ」としたものや、「明らかに荒唐無稽な結論を出すために数学を不適切に利用している顕著な例だからということでなければ、論評することすら馬鹿馬鹿しい」、あるいは、「数学関数を用いて作られたあらゆる種類の予測の中で、その信頼性のなさを立証するのに要した時間の最短記録」とした辛辣な言葉もあった。
これらに対してフォン・フェルスターらは、音速における圧力の理論的発散や、強磁性体のキュリー点での磁化率の発散などいくつかの例を挙げ流れの擾乱が小さいとする線形近似のもとで音速に近づいたとき、圧力係数などが発散する特異点は、プラントル＝グロワートの特異点として知られる。実際の遷音速流では非線形効果が支配的となって、発散は生じず、これは線形近似の適用限界を示している。また、キュリー＝ワイスの法則では、キュリー点に近づくと磁化率が発散し、外部磁場に対する磁化の応答が極端に大きくなる。これはスピン間の相互作用を平均的な場に置き換える近似によって相転移を記述したためであり、実際のを理想化して表した振る舞いといえる。、理論の適用限界や理想化の極限において特異点が現れることは、自然科学上の理論においては何ら稀なものではないと指摘した。そして、「これらの特異点は、システムの構造に何らかの破綻が生じることを予測する歓迎すべき警告信号の役目を果たしている」として、特異点を導くようなモデルの価値は、その予測が文字どおり正しいことではなく、システムの不安定性の警告として依然、予測的価値をもつと応じた。さらに、フォン・フェルスターらは、従来の人口学的モデルに基づいて1950年代の間に推定されてきた将来人口が、推計のたびに上方修正されてきたことを指摘し、出生率・死亡率のみを基礎とし、連携の効果を取り入れない枠組みの不備の現れだとした。
その後の発展
皮肉にもフォン・フェルスターらの論文が出版された1960年以降、世界人口は、双曲線的成長と乖離し始めた。先進国を先駆けとして世界は人口転換の時代を迎え、1965年までには相対成長率はピークを越えた。すなわち、大規模な飢餓や人為的な産児制限より先に、生活様式の変化や経済的窮迫などの社会的・経済的な変容により出生率は低下した。21世紀中、世界中に広がると見られる人口転換の結果、標準的予測では世界人口は21世紀中にピークに達し、人口減少に続いて、いずれ高齢者が相対的に多数となった社会として定常化するものとされている。
幾人かの研究者は、こうした中でも双曲線的振る舞いを基礎とした人口動態モデルに関心を持ち続けた。線形の指数関数的成長と異なり、双曲線的成長のモデルは、ロジスティック曲線型のモデルと同様に、量の変化そのものが個別の成長速度を変化させる非線形な（重ね合わせの原理が成り立たない）関係を示す。その仕組みを解明するには、フィードバックなどシステムの他の部分や異なるスケールから作用するものの存在を考える必要が生ずる。双曲線的成長への関心のひとつは、人類社会において双曲線的成長を生み出した正のフィードバックの正体が何であり、どのように長期にわたって維持され、そして20世紀後半以降に何によって限界を迎えたのかを知るという点にあった。
マイケル・クレーマー
18世紀末、マルサスの『人口論』は、人口増加率の上昇による生活水準の低下を予測するものだったが、実際には19世紀から20世紀にかけてむしろ人々の生活は大幅に向上した。これに対して、サイモン・クズネッツは1960年に技術の進歩が人口増加により促進され、一人当たり生産量を向上させるのではないかという形で分析を行った。
アメリカの経済学者マイケル・クレーマーは、1993年の論文 で人口増加の問題を取り上げ、クズネッツらの議論を踏まえ、フィードバックの媒体として技術知識に注目した。知識が経済学でいう非競合的な性質を持つために、すなわち、個体間で共有でき、消費して減ることがないために、技術革新の機会は、研究へ向けられる資源が一定とみなせるなら人口に比例するとみなせる。その上で、上昇した技術水準が生産量の向上（それによる生命の維持技術や扶養能力の向上）を介して、人口の増加に比例した寄与をもたらすなら、このモデルは、双曲線的成長を与えるドゥームズデイ方程式を導く。
一方、クレーマーは、この双曲線的成長からの近年の乖離を所得上昇がある閾値からは相対成長率の上昇に結びつかず、むしろ低下する点に求めた。ただし、これは十分に望ましい説明を与えていないとの評価もある。
セルゲイ・カピーツァ
ロシアの物理学者セルゲイ・カピーツァは、1990年代以降、精力的に人口動態の問題を扱い、人類が直面している人口転換を「人類史上、最も重要な出来事」であり「人類を新たな世界へと導くもの」であるとして、その重要性を強調した。ローマクラブへの報告書 では、現象論的な双曲線的成長を相転移現象になぞらえて理論的展開を試みている。例えば、ファン・デル・ワールスによる状態方程式の補正における分子間相互作用が数式的に同型であることを手がかりに、新石器革命、都市の誕生、印刷術の発明、産業革命などを弱い相転移、21世紀の人口転換を最も強い相転移とする歴史区分を提示した。ただし、こうした議論は秩序パラメーターのような量を明示していないなど、現象論的アナロジーの域にとどまっている。
一方、その基盤においては、人口動態とは人類社会の情報蓄積のプロセスが現れたものであるという洞察があった。世代を超えた情報伝達をほぼすべて遺伝情報に頼る他の種とは異なり、人類は社会に蓄積された情報を次世代に受け継ぐ広範な文化的情報伝達ができるほぼ唯一の種である。情報の移動や拡散、蓄積に関する技術革新の間隔は特異点に向けて次第に短くなるが、カピーツァは、この知識が知識を生むというフィードバックは世代の存在により制約を受けるとする。すなわち、現代では「人間の生涯のほぼ3分の1が、さまざまな形態の学習に費やされて」おり、「成長率を制限しているのは、この次世代を教育するプロセスだ」と指摘した。カピーツァは、人口データのあてはめから、に相当する時間がこの世代の制約に相当するおよそ45年であるとし、この値を用い、発散に対するよく知られた手法に従って、将来の人口動態を推定している。
脚注
注釈
引用文出典
出典
参考文献
関連項目 世界人口 人口転換 相転移
ミーム 技術的特異点 収穫加速の法則