数学において、F4とは、52次元のコンパクトリー群で、代数群の一つである。対応するリー代数はf4である。ルート系に由来しており、その階級は4である。F4 は複素単純リー群のキリング形式に由来している。単純リー群にはAn, Bn, Cn, Dnと、例外型である, , , , がある。F4 はそのうちの一つである。外部自己同型群は自明群である。基本表現の次元は26である。
F4のコンパクト実形式は16次元リーマン多様体の等長変換群である。F4リー代数はE8と同様に、36次元リー代数にスピノールとして変換する 16 個の生成子を追加することで構成できる。F4は、E4として表記されることもある。
代数
ディンキン図形 サムネイル|120x120ピクセル|のディンキン図形 F4のディンキン図形は以下の通りである。
ワイル・コクセター群 サムネイル|300x300ピクセル|F4のコクセター平面投影。正二十四胞体の頂点（赤）の24頂点を、その双対点（黄）の24頂点がF4の48頂点を表している F4のワイル・コククター群は正二十四胞体の対称変換群で、1152次元の可解群である。この対称変換群への作用により、最小忠実度をもつ。群番号はID(1152,157478)である。
F4格子 F4格子は、4次元における体心立方格子である。これはフルヴィッツ四元数環と呼ばれる環を形成する。ノルム1の元は、原点中心の正二十四胞体の頂点をなす。
ルート系 ルート系は正二十四胞体の頂点とその双対点から成る48の頂点をもつ。2つの24胞体の辺の長さが等しい場合、これらは二面体二百八十八胞体の点を表す。
正二十四胞体点
(±1, ±1, 0, 0)で置換した24点
双対正二十四胞体点
(±1, 0, 0, 0)で置換した8点 (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)で置換した16点
単純ルート系 F4の単純ルート系は以下の行列で与えられる。
ハッセ図は右下の通り。
多項式不変量 F4は27の非可換な変数による以下の3つ多項式の組の自己同型群である。
ここでは実数であり、は八元数である。これらは八元数エルミート行列を用いて、Tr(M)、Tr(M2)、Tr(M3)の組み合わせで表せる。但しMは以下の通りである。
多項式の集合は、24次元コンパクト曲面を定義する（単位球面上の24次元等パラメトリック超曲面は3つの異なるの主曲率を持つカルタン 1939）。
カルタン行列 カルタン行列は以下の通りである。
表現 サムネイル|320x320ピクセル|F4の273次元部分空間 実/複素リー代数/群の有限次元による表現の指標はすべてワイルの指標公式で与えられる。取り得る次元を小さい順に並べた数列がである。
1、26、52、273、324、1053（2重項）、1274、2652、4096、8424、10829、12376、16302、17901、19278、19448、29172、34749、76076、81081、100776、106496、107406、119119、160056（2重項）、184756、205751、212992、226746、340119、342056、379848、412776、420147、 627912...
52次元表現は随伴表現であり、26次元表現は次元27の例外アルバート代数に対するF4の作用のうちトレースレスな部分リー代数である。
次元1053、160056、4313088などには、同型でない既約表現が2つ存在する。基本表現は、次元52、1274、273、26のものである（これは、二重矢印が2番目から3番目に向かう順序で、ディンキン図の4つのノードに対応する）。
F4の最大部分群の次元 273 までの埋め込みと、それに対応する射影行列を以下にまとめる。
脚注