幾何学における多焦点楕円（たしょうてんだえん、）は楕円を一般化した、複数の焦点を持つ曲線である。エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウスに因んで とも呼ばれる。1846年にマクスウェルによって研究された。
平面上に個の点 をとる。多焦点楕円はこれらの点との距離の和が一定となる点の軌跡として定義される。すなわち次の式の指す集合である。
焦点の数が1個であるものは円、2個であるものは楕円である。それぞれ2次の代数曲線である。
多焦点楕円は閉じたである。焦点を通らなければ滑らかになる。
多焦点楕円は代数方程式の解空間の部分集合である。その次数は焦点が奇数個であるならば 、偶数個であるならば である。
多焦点楕円はの特殊な場合である。 近似 1937年、Weiszfeld は焦点と定数を選べばどんな閉凸曲線も多焦点楕円で精度良く近似できるかという問題を提起した。後に Hammer も同様の問題を提起した。Erdős と Vincze 、また Danzer は正三角形が多焦点楕円では近似できないことを示した。さらに Erdős と Vincze は線分を1本のみ含む曲線は近似できるが、2本以上含む曲線は近似できないことを示した。また、を平面の凸領域、を長さが有限の平面曲線、を焦点、を定数として、
と表される曲線は近似可能であることを示した。一般に、どのような曲線が近似可能かは未解決である。多焦点双曲線
や多焦点楕円曲面による近似についても未解決である。
出典
参考文献
関連項目