Нeпрекината функција — функција кај која мала промена на аргументот предизвикува мала промена на вредноста на функцијата. Ова значи дека нема нагли промени во вредноста, познати како прекини (дисконтинуитети) или скокови. Попрецизно, една функција е непрекината ако може да се добијат произволно мали промени во нејзината вредност преку ограничување на промените на нејзиниот аргумент. Дисконтинуирана функција или функција со прекин е функција која не е непрекината. До XIX век, математичарите во голема мера се потпирале на интуитивните поими за непрекинатост и разгледувале само непрекинати функции. Епсилон-делта дефиницијата на гранична вредност била воведена за да се формализира дефиницијата за непрекинатост.
Непрекинатоста е еден од основните поими во калкулусот и на математичката анализа, каде што аргументите и вредностите на функциите се реални и комплексни броеви. Концептот се генерализира кај функции помеѓу метрички простори и кај функции помеѓу тополошки простори. Последните се најопштите непрекинати функции, а нивната дефиниција е основа за топологијата .
Посилна форма на непрекинатост е рамномерната непрекинатост. Во теоријата за подредување, особено во теоријата на домен, концепт кој е поврзан со непрекинатоста е непрекинатоста на Скот .
Како пример, функцијата што ја означува висината на растечкиот цвет во временскиот момент би се сметала за непрекината. Спротивно на тоа, функцијата што го означува износот на пари на банкарска сметка во временскиот момент не е непрекината бидејќи таа „скока“ во секој момент од времето кога парите се депонираат или се повлекуваат.
Историја Еден облик на епсилон-делта дефиницијата за непрекинатост првпат била дадена од Бернард Болцано во 1817 година. Огистен-Луј Коши ја дефинирал непрекинатоста на на следниов начин: при бескрајно малa прoмена на независната променлива секогаш се добива бесконечно мала промена на зависната променлива (види на пр. Cours d'Analyse, стр.34). Коши дефинирал бесконечно мали величини во однос на променливите величини, а неговата дефиниција за непрекинатост е тесно поврзана со дефиницијата на бесконечно мала величина која се користи и денес (види микронепрекинатост). Формалната дефиниција и разликата помеѓу непрекинатост во точка и рамномерна непрекинатост првпат ја дал Болцано во 1830-те, но делото не било објавено дури до 1930-те. Како и Болцано, Карл Вајерштрас не прифаќал непрекинатост на функција во точка освен ако таа не е дефинирана и од двете страни на , но Едуард Гурсат дозволил непрекинатоста на функција да може да се дефинира само во точка или само на едната страна од точка , додека Камил Жордан дал дефиниција според која функција може да биде дефинирана само во точката . Сите овие три нееквивалентни дефиниции за непрекинатост во точка сè уште се во употреба. Едуард Хајне е првиот кој ја публикувал дефиницијата за рамномерна непрекинатост во 1872 година, но овие идеи ги засновал на предавањата што ги одржал Петер Густав Лежен Дирихле во 1854 година.
Реални функции
Дефиниција мини|Функцијата е непрекината на својот домен, но има прекин точката во па затоа таа се смета како по делови непрекината функција. Реална функција, т.е. функција од множеството на реални броеви во множеството на реални броеви може да се претстави со график во Декартовата рамнина; таквата функција е непрекината ако, грубо кажано, графикот е единствена непрекината крива чиј домен е целата реална права. Подолу е дадена математички поригорозна дефиниција.
Непрекинатоста на реалните функции обично се дефинира преку гранични вредности (лимеси). Функција од променлива е непрекината во реалниот број ако лимесот на кога се стреми кон е еднаков на
Постојат неколку различни дефиниции за (глобална) непрекинатост на функција, кои зависат од природата на нејзиниот домен.
Функцијата е непрекината на отворен интервал ако интервалот е содржан во доменот на функцијата и функцијата е непрекината во секоја негова точка. Функција која е непрекината на интервалот (целата реална права) многу често едноставно се нарекува непрекината функција; исто така, се вели дека таквата функција е насекаде непрекината. На пример, сите полиномни функции се насекаде непрекинати.
Функцијата е непрекината на полуотворен или затворен интервал ако интервалот е содржан во доменот на функцијата, функцијата е непрекината во секоја внатрешна точка на интервалот, а вредноста на функцијата во секоја крајна точка што припаѓа на интервалот е лимес на вредностите на функцијата кога променливата се стреми кон крајната точка од внатрешноста на интервалот. На пример, функцијата е непрекината на целиот нејзин домен, т.е. на затворениот интервал
Многу често се среќаваат функции дефинирани по делови. Тоа се функции кои се дефинирани на множество добиено така што од целото се исфрлени некои изолирани точки. Примери за вакви функции се реципрочната функција и функцијата тангенс Кога функција е непрекината на целиот нејзин домен, во некои контексти се вели дека таа функција е непрекината, иако, во суштина таа не е непрекината во реалните броеви во кои не е дефинирана. Во други контексти, главно кога некој е заинтересиран за однесувањето на некоја ваква функција во близина на нејзините исклучителни точки, се вели дека таа има прекин, т.е. дека е дисконтинуирана.
Функција дефинирана по делови е дисконтинуирана или има прекин во точка ако таа точка му припаѓа на тополошкиот затворач на нејзиниот домен и, или точката не му припаѓа на доменот на функцијата или функцијата не е непрекината во таа точка. На пример, функциите и не се непрекинати во и без разлика на тоа која вредност ќе се избере за нивно дефинирање во , тие остануваат дисконтинуирани во 0. Точката во која функцијата е дисконтинуирана се нарекува точка на прекин.
Постојат неколку начина за дефинирање на непрекината функција во смисла на начините споменати погоре, со користење на математичка нотација.
Нека е функција дефинирана на -подмножество на множеството од реални броеви.
Множеството е доменот на Најчесто среќавани случаи се следниве:
т.е. е целото множество од реални броеви. За реални броеви и е затворен интервал или е отворен интервал .
Во случајот кога доменот е отворен интервал, и не му припаѓаат на a вредностите и не се важни за непрекинатоста на над
Дефиниција преку лимес на функција Функцијата е непрекината во некоја точка од нејзиниот домен ако лимесот на кога се приближува кон во доменот на постои и е еднаков на , section II.4 Во математичка нотација, ова се пишува како Ова подетално значи дека мора да се исполнети три услова: прво, треба да е дефинирана во (гарантирано со барањето да е во доменот на ); второ, лимесот на левата страна од равенката мора да постои; трето, вредноста на оваа граница мора да биде еднаква на
(Овде, претпоставивме дека доменот на нема изолирани точки.)
Дефиниција преку околини Околина нa точка е множество кое ги содржи сите точки кои се на растојание од точката помало од некој фиксен број. Интуитивно, функција е непрекината во точката ако досегот на над околина на се стреми кон еднолементното множество кога ширината на околината околу се стреми кон нула. Попрецизно, функција е непрекината во точката oд нејзиниот домен ако за секоја околина постои околина во нејзиниот домен таква што за секој или поинаку запишано
Бидејќи околини се дефинираат во секој тополошки простор, оваа дефиниција за непрекината функција се применува не само за реални функции, туку и кога доменот и кодоменот се тополошки простори и затоа таа е најопштата дефиниција за непрекинатост. Од неа, следува дека функцијата автоматски е непрекината во секоја изолирана точка од нејзиниот домен. На пример, секоја реална функција со домен на целите броеви е непрекината.
Дефиниција преку гранични вредности (лимеси) на низи мини|Низата конвергира кон Функцијата е непрекината во точката ако за која било низа од точки во доменот која конвергира кон соодветната низа конвергира кон Во математичка нотација,
Дефиниции на Вајерштрас и Џордан (епсилон-делта) за непрекинати функции десно|мини| Илустрација на - дефиницијата за непрекинатост: кога , секоја вредност го задоволува условот од дефиницијата за Ако експлицитно ја вклучиме дефиницијата за лимес на функција, добиваме нова дефиниција. За дадена функција и елемент од доменот , се вели дека е непрекинатa во точката ако важи следново: за кој било позитивен реален број колку и да е мал, постои позитивен реален број таков што за секој од доменот на за кој вредноста на ги задоволува
Поинаку запишано, непрекинатоста на во значи дека за секој постои така што за сите :
Поинтуитивно, можеме да кажеме дека ако сакаме сите вредности да останат во некоja малa околина на треба да избереме доволно мала околина вредности на околу Ако можеме да го направиме тоа без разлика колку е мала околината на , тогаш е непрекината во
Во современи термини, ова се генерализира со дефиницијата за непрекинатост на функција во однос на базата за топологијата, која овде е метричката топологија.
Вајерштрас барал интервалот да биде целосно во доменот , но Жордан го отстранил тоа ограничување.
Дефиниција преку контрола на остатокот Во доказите и нумеричката анализа, честопати треба да знаеме колку брзо конвергираат лимесите, или со други зборови, да го контролираме остатокот. Ова може да се формализира со дефиницијата за непрекинатост. Функција се нарекува контролна функција ако
е неопаѓачка
Функција е непрекината во ако постои околина на која
Една функција е непрекината во ако е непрекината за некоја контролна функција
Овој пристап природно води кон усовршување на поимот за непрекинатост со ограничување на множеството од дозволени контролни функции. За дадено множество од контролни функции, велиме дека функција е -непрекината ако е непрекината за некоја контролна функција На пример, непрекинатите функции според Липшиц и непрекинатите функции од експонент според Холдер редоследно се дефинирани преку множеството од контролни функции и
Дефиниција со помош на осцилација мини|Прекинот на функција во точка се квантифицира (се мери) преку нејзината осцилација. Непрекинатоста може да се дефинира и преку поимот за осцилација: функцијата е непрекината во точка ако и само ако неjзината осцилација во таа точка е нула;Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172 симболично запишано, Придобивка од оваа дефиниција е тоа што се квантификува степенот на прекинатост: осцилацијата дава мера за тоа колкав е прекинот на функцијата во една точка.
Оваа дефиниција е корисна во описната теорија на множества за проучување на множествата од точки на прекин и на непрекинатите точки. Имено, непрекинати точки се точките кои му припаѓаат на пресекот на множествата во кои осцилацијата е помала од (според тоа е <span about="#mwt346" class="mwe-math-element" data-mw="{"name":"math","attrs":{},"body":{"extsrc":"G_{\\delta}"}}" id="7" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\delta }}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle G_{\delta }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" data-cx="{"adapted":false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b42b79015590af928aa28bda9514373aeac0e1e" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.8ex; height:2.509ex;"></span> множество). Преку нив се добива брз доказ за едната насока на условот за интеграбилност на Лебег (Lebesgue).Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177