Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.
Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.
Формулација на теоремата Формално, теоремата е зададена на следниов начин: Нека е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција , нека оваа функција е интеграбилна на и нека функцијата е примитивна функција за на . Тогаш важи равенството:
или почесто запишано како:
Доказ
Доказот на тврдењето е следниов:
Нека е фиксен. Бидејќи функцијата е интеграбилна на интервалот , според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој , постои такво што за секоја поделба на интервалот и секој избор на точките важи:
Нека е примитивна функција на функцијата на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки така што важи:
односно, бидејќи е примитивна на , може да запишеме:
Тогаш, ако сумираме за , следи:
Од друга страна и точките се „произволни“, исто како и точките , па и за нив е исполнето неравенството:
Тогаш, конечно, имаме:
од каде следи:
,
каде е една примитивна функција на на интервалот . Со тоа доказот е завршен.
Наводи
Категорија:Математика Категорија:Математичка анализа