Las matematicas (var. matematiques) son un ensemble de disciplinas basadas sus la reflexion e la logica que s'aplican sus l'utilizacion de nombres, de formulas, d'estructura, de donadas.
Lo mot « matematicas » es eissit deu nom comun en grèc ancian (mathéma, « leiçon ») derivat deu vèrb (manthánô, significant « aprene »). Significa etimologicament « sciéncia, coneissença », mas lo sens corrent es « matematic » de (mathḗmata). L'adjectiu (mathematikos), primièr « relatiu au saber », puèi, « que concernís lei sciéncias matematicas ». Aquel adjectiu foguèt adoptat en latin (mathematicus). Las matematicas son utilizadas egalament dins mantun domeni de la vida vidanta.
Se considèra qu'un resultat matematic, o teorèma, es verai quand es estat demostrat. Una demostracion es un rasonament deductiu que parte deis ipotèsis per arribar a la conclusion vouguda en seguent lei règlas de la logica; dins la practica, s'utiliza totjorn una mescla de lengatge formalizat e de lengatge . Evolucion e finalitat dei matematicas right|thumb|320px|Euclides, detalh de L'Escòla d'Atenas per Rafèl.
Lei matematicas an una lònga tradicion dins totei lei pòbles; foguèron la premiera disciplina a se dotar de metòdes d'auta rigor e portada, e a obtenir ansin l'estatut de sciéncia; an progressivament alargat lei tèmas de sa recèrca e estendut lei domenis que pòdon ajudar en matèria de calcul e de modelizacion.
Dins lo corrent de sa lònga istòria, e dins lei divèrseis environas culturalas, i aguèt de pontannadas de gròs progrès, e de pontannadas d'estanhacion deis estudis. Vèn en partida de l'importància dei quauquei personas capablas de portar d'innovacions prefondas e illuminativas e d'estimular la recèrca matematica. I aguèt tanben de pontannadas de reculament dei conoissenças e dei metòdes: mai se rescontrèron solament après de destruccions o en d'epòcas de decadéncia totala de la vida intellectuala e sociala. Dempuei 500 ans, còmpte tengut dau melhorament dei mejans de comunicacion, lo capitau de resultats e de metòdes s'es progressivament desvolopat.
Tot aquò s'apren a la natura deis activitats matematicas. Aquestei d'aicí tendon de lònga an una presentacion precisa dei problèmas e dei solucions, çò qu'impausa de comunicar en avent per tòca finala la possibilitat d'esclarzir totei lei detalhs dei construccions logicas e dei resultats (cèrts esclarziments exigisson un investiment important, de desenas d'ans de còps que i a). Es per aquò que i a pas d'exemple d'error matematica majora que seriá pas estada lèu reconeguda e corregida, o aumens senhalada.
Lei divèrsei brancas dei matematicas Se destria actualament en matematicas tres grandei brancas mutualament liadas: l'algèbra (exemples: algèbra lineara, matematicas discrètas) l'analisi (exemples: eqüacions diferencialas, teoria de la mesura, calcul dei probabilitats) la geometria, au jonhent de l'algèbra e de l'analisi (exemples: geometria euclidiana, geometria diferenciala)
Lei liames entre aquelei brancas e leis usatges que caduna fa de l'autra son mai que prefonds e fondamentaus. La teoria dei nombres, en particular la reflexion sus lei nombres premiers, es exemplara a regard d'aquò: a l'origina confonduda amb l'aritmetica elementària, s'es transformada au sègle XIX en una teoria onte l'analisi es venguda indispensabla. Au sègle XX, la geometria algebrica es venguda la terranha naturala acampant au còp metòdes algebrics, topologics e geometrics per afrontar lei problèmas de la teoria dei nombres, per exemple la conjectura de Fermat, venguda gràcias an aquel apròchi novèu lo teorèma d'Andrew Wiles en 1994. Aqueu teorèma se formula en tèrmes algebrics, mai sa demostracion fa un usatge massís de matematicas liadas tant a l'algèbra coma a l'analisi e a la geometria.
Teorèma de Wiles:
per tot entier naturau superior o egau a 3, l'eqüacion a ges de solucion entiera tala que .
L'algèbra L'algèbra es la partida dei matematicas qu'estúdia leis estructuras algebricas. Se pòt destriar de sotadisciplinas, per exemple:
La teoria dei grops L'algèbra lineara e multilineara La teoria de Galois (qu'un de sei resultats remarcables es l'impossibilitat, en generau, de resòuvre per radicaus leis eqüacions algebricas) L'algèbra omologica (fòrça utila en geometria)
En mai de son desvolopament intrinsec, es necessària a l'analisi e la geometria per progressar. Son interès per aquestei darrieras vèn dau fach que d'estructuras algebricas se retròban dins de domenis nombrós.
Per exemple, lo lengatge e lei teorèmas de l'algèbra lineara permeton de comprendre en prefondor de domenis a priori fòrça alunhats, pron qu'agan una estructura lineara: leis eqüacions diferencialas linearas d'òrdre (aquelei que fan intervenir la derivada -ena de la foncion inconeguda) an exactament solucions independentas, donc de comportament diferent. en analisi, diferenciar una foncion consistís a l'aprochar localament per una foncion afina (soma d'una constanta e d'una foncion lineara). Ansin, leis instruments de l'algèbra lineara (o bilineara) vènon indispensables per saupre s'un ponch critic (que se pòt determinar analiticament) d'una foncion diferenciabla es un ponch d'extremum (minimum, maximum) o un ponch còl.
L'analisi L'analisi es la partida dei matematicas qu'a inicialament per objècte principau l'estudi dei foncions de variablas realas, en çò que pertòca lei nocions de limit, de derivada e d'integrala. Emai ague de precursors tre l'Antiquitat (Arquimèdes), l'analisi comença fondamentalament amb Newton e Leibniz, inventors au sègle XVII dau calcul infinitesimau.
Se i pòt destriar mai d'un domeni, per exemple: Leis eqüacions diferencialas. Son d'eqüacions liant una foncion inconeguda e d'unei de sei derivadas successivas; entre lei questions importantas pertocant lei solucions, citem: l'existéncia, l'unicitat, lo comportament qualitatiu o quantitatiu au bòrd dau domeni de definicion (per exemple, se la variabla es lo temps, coma se compòrta a tèrme lòng una solucion). L'analisi de Fourier que permete de descompausar una foncion en soma d'armonics (serias de Fourier, transformacion de Fourier). Es essenciala en teoria dau senhau. Lo calcul dei probabilitats: modeliza leis fluctuacions de l'azard. A l'origina associat ai matematicas discrètas (jòcs de rèsta: lançament de dats, tiratges de cartas...), es estat finalament provesit per Kolmogorov d'una axiomatica fòrça mai generala, fondada sus la teoria de la mesura; la probabilitat d'un eveniment es l'integrala d'una cèrta foncion liada a la natura dau modèl (per exemple, una densitat gaussiana se se mesura la talha d'una persona presa a l'azard dins una populacion omogenèa), sus un cèrt domeni (una dins aquest exemple, quand se cèrca la probabilitat que la talha siá compressa entre doas valors donadas).
Pasmens, l'analisi se limita pas ai foncions de variablas realas. Un capítol important, creat au sègle XIX per Cauchy, Riemann e Weierstrass, estúdia lei foncions analiticas de variablas complèxas: es la teoria dei foncions olomòrfas. Existís d'autrei generalizacions de la nocion de foncion, coma la nocion recenta de distribucion, deguda a Laurent Schwartz.
La geometria right|thumb|Lo dodecaèdre regular, un dei cinc solids platonicians de l'espaci euclidian de dimension 3
Es una disciplina atestada tre l'Antiquitat, e lo tèrme de geomètra foguèt fins au sègle XIX sinonim de . L'objècte de la geometria es de comprendre la natura dei figuras d'un espaci, e lei relacions que s'establisson entre elei. Espaci pòt designar per exemple: l'espaci euclidian classic, un espaci vectoriau pus generau, un espaci corbe o varietat diferenciabla...
Segon la concepcion modèrna formulada en 1872 per Fèlix Klein, una geometria se definís per un ensemble de ponchs e un grop de transformacions bijectivas d'aquel ensemble, e s'interèssa ai proprietats invariantas per leis elements dau grop.
Se pòt destriar mai d'un domeni de la geometria, per exemple: la geometria euclidiana la geometria diferenciala, qu'estúdia (localament o globalament) lei corbas, lei superfícias, e pus generalament lei varietats diferenciablas lei geometrias non euclidianas
Matematicas aplicadas e matematicas puras L'activitat matematica s'interèssa naturalament ai generalizacions e abstraccions possiblas, en relacion amb leis esparnhes de pensada e lei melhoraments deis instruments (en particular leis instruments de calcul) qu'es portada a realizar. Sovent, lei generalizacions e lei abstraccions menan puei en de visions pus aprefondidas dei problèmas e en de sinergias importantas entre de recèrcas pertocant de questions inicialament sensa rapòrt.
Dins lo corrent dau desvolopament dei matematicas, se pòt notar de pontannadas e d'environas onte prevalon alternativament d'actituds generalas e de valors que se pòdon reduire en dos tipes de motivacions e d'apròchis: lei motivacions practicas que butan a descurbir de procediments eficaç (per exemple dins la resolucion de problèmas industriaus e tecnologics), e leis exigéncias de creacion d'un sistèma conceptuau amb sa tendéncia a la generalizacion e a l'abstraccion.
Entre aquelei doas menas d'actituds, i a de còps una oposicion, e mai charpinosa, mai en generau s'enriquisson mutualament e desvolopan de sinergias. Dins lei 30 o 40 darriers ans, i a agut, entre aqueleis actituds, un cèrt equilibri, amb de tensions, e tanben d'episòdis d'assisténcia mutuala. An aquel estat de causas contribuís mai que mai lo desvolopament espectaclós de l'informatica, e amb ela, de la partida algoritmica dei matematicas.
Lei matematicas e leis autrei sciéncias Instrument e lengatge Lei matematicas sièrvon de lengatge o de supòrt en de sciéncias fòrça nombrosas (naturalas o umanas) afin de quantificar cèrts fenomèns. S'utilizan tanben per predire de formas e efectuar de prediccions qualitativas.
Lo principi de la matematizacion es aquest: una sciéncia donada, o una sotatematica de la sciéncia (par exemple la biologia o la termodinamica) selecciona cèrts paramètres supausats quantificables (lo temps, lo nombre de bactèris, la temperatura, lo pòrtafuelha d'un accionari) qu'entre elei s'es constatat de relacions (la populacion bacteriana creisse amb lo temps, la temperatura e la pression son liadas). Una eqüacion, fòrça sovent diferenciala, lia d'unei d'aquelei paramètres entre elei, e establís ansin d'un biais quantitatiu son interdependéncia. L'estudi matematic d'aqueleis eqüacions va permetre, après retorn ais èssers reaus associats ai paramètres, de predire, valent a dire de constatar de relacions novèlas entre lei tèrmes. En ecologia per exemple, una foncion pòt modelizar lo rapòrt entre una espècia e una autra espècia predatritz; l'estudi matematic de la foncion quand lo temps tende vèrs l'infinit va anonciar se lo sistèma ecologic evoluirà vèrs un sistèma estable e equilibrat, o ben (per exemple) s'una deis espècias dispareisserà.
Lo cas particular de la fisica Istoricament, fisica e matematicas son prefondament liadas. Se coneis la frasa famosa de Galilei, fondator de la fisica modèrna: Lo libre de la natura es escrich en lengatge matematic. L'astronomia, per exemple, es estada un dei motors principaus de l'emergéncia de la disciplina matematica.
Puei, fins a la fin dau sègle XIX, lei matematicians seràn tanben fisicians (e sovent filosòfs). Se pòt destriar mai d'un rapòrt de naturas diferentas entre lei doas sciéncias: una teoria fisica novèla reclama un instrument matematic. Dos cas: l'instrument existís ja (per la relativitat generala: la geometria riemanniana) l'instrument se deu inventar (per la mecanica classica: lo calcul diferenciau e integrau) una teoria matematica novèla encoratja lei fisicians a explorar pus luenh sa teoria.