A redução de dimensão é o limite de uma teoria compactificada, onde o tamanho da dimensão compacta tende a zero. Em física, uma teoria em dimensões do espaço-tempo D pode ser redefinida em um número menor de dimensões d, considerando todas as áreas independentes da localização nas dimensões D − d extras.
Por exemplo, considere uma dimensão compacta periódica com período L. Seja x a coordenada ao longo desta dimensão. Qualquer área pode ser descrito como uma soma dos termos:
com A n sendo uma constante. De acordo com a mecânica quântica, tal termo tem momento nh / L ao longo de x, onde h é a constante de Planck. A rigor, é uma combinação linear de duas funções de ondas com momento . Portanto, à medida que L tende a zero, o momento tende ao infinito, e o mesmo acontece com a energia, a menos que n seja igual a zero. No entanto, isso fornece uma área que é constante em relação a x. Então, neste limite, e com energia finita, não dependerá de x.
Este argumento generaliza. A dimensão compacta impõe condições de contorno específicas a todas as áreas, por exemplo, condições de contorno periódicas no caso de uma dimensão periódica e, tipicamente, condições de contorno de Neumann ou Dirichlet em outros casos. Agora, suponha que o tamanho da dimensão compacta seja L; então, os possíveis autovalores sob gradiente ao longo desta dimensão são múltiplos inteiros ou meio-inteiros de 1/L (dependendo das condições de contorno precisas). Na mecânica quântica, este autovalor é o momento da área e, portanto, está relacionado à energia dela. Como L→0: todos os autovalores, exceto zero, tendem ao infinito, assim como a energia. Portanto, neste limite, com energia finita, zero é o único autovalor possível sob gradiente ao longo da dimensão compacta, o que significa que nada depende desta dimensão.
Redução de dimensão também se refere ao cancelamento específico de divergências em diagramas de Feynman. Foi proposto por Amnon Aharony, Yoseph Imry e Shang-keng Ma, que provaram em 1976 que "para todas as ordens na expansão de perturbação, os expoentes críticos em um sistema d-dimensional ( ) com troca de curto alcance e um campo aleatório extinto são os mesmos que aqueles de um sistema puro ( )-dimensional". Seus argumentos indicaram que os "diagramas de Feynman que fornecem o comportamento singular líder para o caso aleatório são identicamente iguais, além de fatores combinatórios, aos diagramas de Feynman correspondentes para o caso puro em duas dimensões a menos". Esta redução dimensional foi investigada mais a fundo no contexto da teoria supersimétrica das equações diferenciais estocásticas de Langevin por Giorgio Parisi e Nicolas Sourlas que "observaram que os diagramas mais divergentes no infravermelho são aqueles com o número máximo de inserções de fontes aleatórias e, se os outros diagramas forem negligenciados, resta uma expansão diagramática para uma teoria de campo clássica na presença de fontes aleatórias... Parisi e Sourlas explicaram esta redução dimensional por uma supersimetria oculta."
Ver também
Teoria de Kaluza-Klein
Supergravidade Gravidade quântica
Referências
Categoria:Supersimetria Categoria:Teoria quântica de campos Categoria:Teoria das cordas