Fronteira, em topologia, é o conceito matemático que generaliza a ideia de uma fronteira geográfica.
Dado um conjunto S de pontos em um espaço topológico V, e um ponto x do espaço topológico, uma das três situações seguintes, e apenas uma delas, pode ocorrer: (1) existe um conjunto aberto A tal que (2) existe um conjunto aberto A tal que (3) qualquer que seja o aberto A com , temos que A tem pontos em comum com S e com seu complemento No caso (1) diz-se que x é um ponto do interior de S, (2) x é um ponto do exterior, e (3) um ponto da fronteira.Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 1. The Concept of Topological Space, Interior, Closure and Boundary, p.5 [em linha]
Intuitivamente, é como se o espaço topológico fosse sendo observado em x com microscópios cada vez mais poderosos. Se, a partir de algum momento, tudo que se vê em volta de x são pontos de S, então é porque x é um ponto interior. Se, a partir de algum momento, tudo que se vê em volta de x são pontos do complemento de S, então é porque x é um ponto exterior. Caso nenhum destes dois casos ocorra, então x é um ponto da fronteira.L. Christine Kinsey, Topology of Surfaces (1993), Chapter 2. Point-set topology, 2.1 Open and closet sets in Rn, p.10 [google books]
Definição matemática Dada uma topologia τ em um conjunto V e um conjunto S, um ponto x é um ponto da fronteira de S quando para todo aberto com temos que A contém pontos de S e pontos no complemento de S, ou seja, e
A fronteira de S é o conjunto de todos seus pontos fronteira, ou, na notação matemática:
Propriedades A fronteira de S é o que se fica quando se retira do fecho de S o seu interior; A fronteira de um conjunto é um conjunto fechado. Seja S um conjunto em (ou seja, um subconjunto dos números reais). será sempre igual à união disjunta do interior de S, do interior de S complementar e da fronteira de S, ou seja: .
Mais precisamente, dado um conjunto S contido em V, dizemos que x é um ponto de fronteira de S se qualquer bola aberta centrada em x contiver pontos de S e pontos do seu complementar.
Uma variedade compacta e sem fronteira é chamada de variedade fechada. Podemos pensar na fronteira como um funtor que associa a cada variedade sua fronteira. Tal operador é objeto de estudo da teoria dos bordismos, que foi fundada por René Thom. Pelo teorema de Stokes, a integral de uma k-forma diferencial sobre uma variedade compacta depende somente dos valores da k-forma na fronteira da variedade. Um subespaço de um espaço topológico que coincide com sua fronteira tem necessariamente interior vazio.
Categoria:Topologia (matemática)