A história da teoria dos grupos, um domínio matemático que estuda os grupos em suas várias formas, evoluiu através de várias vertentes paralelas. Existem três raízes históricas da teoria dos grupos: a teoria das equações algébricas, a teoria dos números e a geometria. Joseph-Louis Lagrange, Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel e Évariste Galois foram pesquisadores pioneiros no campo da teoria dos grupos.

Início do século XIX O estudo mais antigo de grupos como tal provavelmente remonta ao trabalho de Lagrange no final do século XVIII. No entanto, este trabalho era um tanto isolado, e as publicações de 1846 de Augustin-Louis Cauchy e Galois são mais comumente referidas como o início da teoria dos grupos. A teoria não se desenvolveu num vácuo e, portanto, três vertentes importantes em sua pré-história são desenvolvidas aqui.

Desenvolvimento dos grupos de permutação Uma raiz fundamental da teoria dos grupos foi a busca por soluções de equações polinomiais de grau superior a 4.

Uma fonte inicial ocorre no problema de formar uma equação de grau m tendo como suas raízes m das raízes de uma dada equação de grau . Para casos simples, o problema remonta a Johann van Waveren Hudde (1659).Hudde, Johannes (1659) "Epistola prima, de reductione æquationum" (Primeira carta: sobre a redução de equações). Em: Descartes, René; Beaune, Florimond de; Schooten, Frans van; Hudde, Johannes; Heuraet, Hendrik van. Renati Des-Cartes Geometria. 2nd ed. vol. 1. (em latim) Amsterdã, Países Baixos: Louis and Daniel Elzevir. pp. 406–506. Nicholas Saunderson (1740) notou que a determinação dos fatores quadráticos de uma expressão biquadrática leva necessariamente a uma equação do sexto grau, e Thomas Le Seur (1703–1770) (1748) ; pp. 13 ff, ver especialmente pp. 22–23.Artigos sobre Thomas Le Seur estão disponíveis na Wikipédia em francês e Wikipédia em alemão. e Edward Waring (1762 a 1782) elaboraram ainda mais a ideia. Waring provou o teorema fundamental dos polinômios simétricos, e considerou especialmente a relação entre as raízes de uma equação do quarto grau e sua cúbica resolvente.Ver:

O objetivo de Lagrange (1770, 1771) era entender por que equações de terceiro e quarto grau admitem fórmulas para soluções, e um objeto chave era o grupo de permutações das raízes. Sobre isso, construiu-se a teoria das substituições.Ver: Ele descobriu que as raízes de todos os resolventes de Lagrange (résolvantes, réduites) que ele examinou são funções racionais das raízes das respectivas equações. Para estudar as propriedades destas funções, ele inventou um Calcul des Combinaisons. O trabalho contemporâneo de Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) desenvolveu a teoria das funções simétricas e a solução de polinômios ciclotômicos. Leopold Kronecker foi citado dizendo que um novo auge na álgebra começou com o primeiro artigo de Vandermonde. Da mesma forma, Cauchy deu crédito tanto a Lagrange quanto a Vandermonde por estudarem funções simétricas e permutações de variáveis.

Paolo Ruffini (1799) tentou uma prova da impossibilidade de resolver a equação do quinto grau e de graus superiores. Ruffini foi a primeira pessoa a explorar ideias na teoria dos grupos de permutação, tais como a ordem de um elemento de um grupo, a conjugação e a decomposição em ciclos de elementos de grupos de permutação. Ruffini distinguiu o que hoje são chamados de grupos intransitivos e transitivos, e grupos imprimitivos e primitivos, e (1801) utiliza o grupo de uma equação sob o nome l'assieme delle permutazioni. Ele também publicou uma carta que Pietro Abbati enviou a si próprio, na qual a ideia de grupo é proeminente. No entanto, ele nunca formalizou o conceito de um grupo, ou mesmo de um grupo de permutação.

Évariste Galois é honrado como o primeiro matemático a conectar a teoria dos grupos com a teoria de corpos, através da teoria que hoje é chamada de Teoria de Galois. Galois também contribuiu para a teoria das equações modulares e para a das funções elípticas. Sua primeira publicação sobre a teoria dos grupos foi feita aos dezoito anos (1829), mas suas contribuições atraíram pouca atenção até a publicação póstuma de seus artigos reunidos em 1846 (Liouville, Vol. XI). Ele considerou pela primeira vez o que hoje é chamado de propriedade de fechamento de um grupo de permutações, o que ele expressou como

Galois descobriu que se são as n raízes de uma equação, há sempre um grupo de permutações dos r'''s tal que toda função das raízes invariável pelas substituições do grupo é racionalmente conhecida, e inversamente, toda função determinável racionalmente das raízes é invariante sob as substituições do grupo. Em termos modernos, a resolubilidade do Grupo de Galois associado à equação determina a resolubilidade por radicais da equação.

Galois foi o primeiro a usar as palavras grupo (groupe em francês) e primitivo em seus significados modernos. Ele não usou grupo primitivo, mas chamou de equação primitiva uma equação cujo grupo de Galois é primitivo. Ele descobriu a noção de subgrupos normais e descobriu que um grupo primitivo solúvel pode ser identificado como um subgrupo do grupo afim de um espaço afim sobre um corpo finito de ordem prima.

Grupos semelhantes aos grupos de Galois são (hoje) chamados de grupos de permutação. A teoria dos grupos de permutação recebeu um desenvolvimento de longo alcance pelas mãos de Augustin Cauchy e Camille Jordan, tanto pela introdução de novos conceitos quanto, principalmente, pela grande riqueza de resultados sobre classes especiais de grupos de permutação e até mesmo alguns teoremas gerais. Entre outras coisas, Jordan definiu uma noção de isomorfismo, embora limitada ao contexto de grupos de permutação. Também foi Jordan quem colocou o termo grupo em amplo uso.

Uma noção abstrata de um grupo (finito) apareceu pela primeira vez no artigo de 1854 de Arthur Cayley, Sobre a teoria dos grupos, dependendo da equação simbólica . Cayley propôs que qualquer grupo finito é isomorfo a um subgrupo de um grupo de permutação, um resultado conhecido hoje como Teorema de Cayley. Nos anos seguintes, Cayley investigou sistematicamente grupos infinitos e as propriedades algébricas de matrizes, como a associatividade da multiplicação, a existência de inversas e os polinômios característicos.

Grupos relacionados à geometria

Em segundo lugar, o uso sistemático de grupos em geometria, principalmente na forma de grupos de simetria, foi iniciado pelo Programa de Erlangen de 1872 de Felix Klein.Ver:

Reimpresso em:

Tradução para o inglês: O estudo do que hoje é chamado de grupos de Lie começou sistematicamente em 1884 com Sophus Lie, seguido pelo trabalho de Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer e Élie Cartan. A teoria descontínua (grupos discretos) foi desenvolvida por Klein, Lie, Henri Poincaré e Charles Émile Picard, em conexão particular com as formas modulares e a monodromia.

Surgimento dos grupos na teoria dos números

A terceira raiz da teoria dos grupos foi a teoria dos números. Leonhard Euler considerou operações algébricas com números módulo um inteiro — a aritmética modular — em sua generalização do Pequeno teorema de Fermat. Essas investigações foram levadas muito mais longe por Carl Friedrich Gauss, que considerou a estrutura de grupos multiplicativos de resíduos mod n e estabeleceu muitas propriedades de grupos cíclicos e de grupos abelianos mais gerais que surgem dessa maneira. Em suas investigações sobre a composição de formas quadráticas binárias, Gauss declarou explicitamente a lei associativa para a composição de formas. Em 1870, Leopold Kronecker deu uma definição de um grupo abeliano no contexto de grupos de classes de ideais de um corpo de números, generalizando o trabalho de Gauss. As tentativas de Ernst Kummer de provar o Último Teorema de Fermat resultaram num trabalho que introduzia grupos descrevendo a fatoração em números primos. Em 1882, Heinrich M. Weber percebeu a conexão entre grupos de permutação e grupos abelianos e deu uma definição que incluía a propriedade de cancelamento bilateral, mas omitia a existência do elemento inverso, o que era suficiente em seu contexto (grupos finitos).

Convergência

A teoria dos grupos, como uma disciplina cada vez mais independente, foi popularizada por Serret, que dedicou a seção IV de sua álgebra à teoria; por Camille Jordan, cujo clássico Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) é marcante; e por Eugen Netto (1882), cuja Teoria das Substituições e suas Aplicações à Álgebra foi traduzida para o inglês por Cole (1892). Outros teóricos dos grupos do século XIX foram Joseph Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker e Émile Mathieu; bem como William Burnside, Leonard Eugene Dickson, Otto Hölder, E. H. Moore, Ludwig Sylow e Heinrich Martin Weber.

A convergência das três fontes acima em uma teoria uniforme começou com o Traité de Jordan e com Walther von Dyck (1882), que primeiro definiu um grupo em seu sentido moderno pleno. Os livros didáticos de Weber e Burnside ajudaram a estabelecer a teoria dos grupos como uma disciplina.Solomon escreve nas Obras Completas de Burnside: "O efeito do [livro de Burnside] foi mais amplo e difundido, influenciando todo o curso da álgebra não-comutativa no século XX." A formulação de grupos abstratos não se aplicava a uma grande parte da teoria dos grupos do século XIX, e um formalismo alternativo foi dado em termos de álgebras de Lie.

Final do século XIX No período de 1870-1900, os grupos foram descritos como os grupos contínuos de Lie, os grupos descontínuos, grupos finitos de substituições de raízes (gradualmente sendo chamados de permutações) e grupos finitos de substituições lineares (geralmente sobre corpos finitos). Durante o período de 1880-1920, grupos descritos por apresentações ganharam vida própria através do trabalho de Cayley, Walther von Dyck, Max Dehn, Jakob Nielsen, Otto Schreier, e continuaram no período de 1920-1940 com o trabalho de H. S. M. Coxeter, Wilhelm Magnus e outros, para formar o campo da teoria combinatória de grupos.

Os grupos finitos no período de 1870-1900 presenciaram destaques como os Teoremas de Sylow, a classificação de Hölder dos grupos de ordem livre de quadrados e os primórdios da teoria de caracteres de Frobenius. Já por volta de 1860, os grupos de automorfismos dos planos projetivos finitos haviam sido estudados (por Mathieu), e na década de 1870 a visão de grupo na geometria de Klein estava sendo realizada em seu Programa de Erlangen. Os grupos de automorfismos de espaços projetivos de dimensões superiores foram estudados por Jordan em seu Traité, incluindo séries de composição para a maioria dos chamados grupos clássicos, embora ele evitasse corpos não primos e omitisse os grupos unitários. O estudo foi continuado por Moore e Burnside, e consolidado de forma abrangente em livro didático por Leonard Dickson em 1901. O papel dos grupos simples foi enfatizado por Jordan, e critérios para a não simplicidade foram desenvolvidos por Hölder, até que ele foi capaz de classificar os grupos simples de ordem inferior a 200. O estudo foi continuado por Frank Nelson Cole (até 660) e Burnside (até 1092), e finalmente, num "projeto do milênio" inicial, até 2001 por Miller e Ling em 1900.

Grupos contínuos desenvolveram-se rapidamente no período de 1870-1900. Os artigos fundamentais de Killing e Lie foram publicados, o teorema de Hilbert na teoria dos invariantes em 1882, etc. == Início do século XX ==