thumb|right|Um ponto de fuga ilustra como a adição de pontos limite no infinito pode completar um espaço visual. Um problema importante na topologia é como ampliar um espaço adicionando pontos de modo que certos tipos de limites existam. A compactificação de Stone-Čech de um espaço fornece a ampliação mais extensa desse tipo: ela adiciona pontos suficientes para garantir a existência de todos os limites generalizados, incluindo aqueles detectados por redes (nets) ou ultrafiltros, em vez de sequências comuns. A construção foi implicitamente introduzida por Andrey Nikolayevich Tikhonov (1930) e explicitamente descrita por Marshall Stone (1937) e Eduard Čech (1937).Tikhonov, Andrey N. (1930). "Über die topologische Erweiterung von Räumen". Mathematische Annalen. 102: 544–561.Stone, Marshall H. (1937). "Applications of the theory of Boolean rings to general topology". Transactions of the American Mathematical Society. 41 (3): 375–481.Čech, Eduard (1937). "On bicompact spaces". Annals of Mathematics. 38 (4): 823–844.Kelley, John L. (1955). General Topology. Springer.

Com mais detalhes, a compactificação de Stone-Čech é uma técnica para construir um mapa universal de um espaço topológico para um espaço de Hausdorff compacto . A compactificação de Stone-Čech é o único espaço de Hausdorff compacto "mais geral" gerado por , no sentido de que qualquer mapa contínuo de para qualquer outro espaço de Hausdorff compacto fatora-se de forma única através de . Se o espaço é um espaço de Tychonoff, o mapa de para é um mergulho (embedding), e pode ser identificado como um subespaço denso de . Para um espaço de Tychonoff, é a maior compactificação de : qualquer outra compactificação de Hausdorff de é um espaço quociente de . Para espaços infinitos, a estrutura de é frequentemente extremamente complexa, e provar sua existência geralmente requer o axioma da escolha.

Motivação O objetivo da compactificação é "ampliar" um espaço adicionando pontos limite idealizados para preencher quaisquer "buracos" ou fronteiras ausentes. Como os espaços compactos são matematicamente bem comportados, muitas vezes é útil mergulhar um espaço não compacto em um compacto. Muitas vezes existem várias maneiras de adicionar esses pontos, dependendo de como o espaço original está imerso em uma estrutura maior.

Extensão de funções contínuas Uma motivação principal para a compactificação de Stone-Čech é garantir que funções contínuas limitadas arbitrárias no espaço original possam ser estendidas para a compactificação.Por exemplo, o intervalo aberto é geralmente compactificado no intervalo fechado adicionando dois pontos extremos. No entanto, funções contínuas em podem não se estender a . Se o intervalo estiver mergulhado no plano mapeando para (a "curva do seno do topólogo"), o fecho adiciona um segmento de reta vertical inteiro de pontos limite em vez de um único ponto. Nesse mergulho, o valor de pode ser recuperado simplesmente usando a projeção na segunda coordenada, que naturalmente se estende ao fecho.

Essa observação leva à construção do espaço produto da compactificação de Stone-Čech. Se a adição de uma função como coordenada permite que essa função específica se estenda continuamente, então mergulhar o espaço em um espaço produto de alta dimensão — com uma coordenada para cada função contínua limitada possível — permite que todas essas funções se estendam. A compactificação de Stone-Čech, denotada como , é o fecho do espaço X dentro desse espaço produto maximal. Como é construída para acomodar todas as extensões contínuas possíveis, é caracterizada por uma propriedade universal: toda função contínua limitada em X se estende de forma única para uma função contínua em .

Comparação com a compactificação de um ponto Outra motivação é evitar a restritividade de compactificações menores. Para um espaço discreto não enumeravelmente infinito , a compactificação de um ponto (ou compactificação de Alexandroff) resulta num espaço onde uma função é contínua se e somente se for constante em todos os lugares, exceto em um subconjunto enumerável de . No espaço discreto original, toda função era contínua; a compactificação de um ponto "destrói" a continuidade da grande maioria das funções.

Em contraste, a compactificação de Stone-Čech é a compactificação onde todas as funções limitadas se estendem a funções contínuas em . É muito maior do que a compactificação de um ponto; enquanto adiciona apenas um único ponto, adiciona incontáveis.

História

Andrey Nikolayevich Tikhonov introduziu os espaços completamente regulares em 1930 a fim de evitar a situação patológica de espaços de Hausdorff cujas únicas funções contínuas de valor real são mapas constantes.

No mesmo artigo de 1930 onde Tychonoff definiu os espaços completamente regulares, ele também provou que todo espaço de Tychonoff (ou seja, espaço completamente regular de Hausdorff) tem uma compactificação de Hausdorff (neste mesmo artigo, ele também provou o Teorema de Tychonoff). Em 1937, Čech estendeu a técnica de Tychonoff e introduziu a notação βX para essa compactificação. Stone também construiu βX em um artigo de 1937, embora usando um método muito diferente. Apesar de o artigo de Tychonoff ser o primeiro trabalho sobre o assunto da compactificação de Stone-Čech e apesar de o artigo de Tychonoff ser referenciado tanto por Stone quanto por Čech, o nome de Tychonoff raramente é associado a βX.

Propriedade universal e funtorialidade

A compactificação de Stone-Čech do espaço topológico X é um espaço de Hausdorff compacto βX juntamente com um mapa contínuo iX : X → βX que possui a seguinte propriedade universal: qualquer mapa contínuo f : X → K, onde K é um espaço de Hausdorff compacto, se estende de forma única para um mapa contínuo βf : βX → K, isto é, .

center|A propriedade universal da compactificação de Stone-Cech expressa em forma de diagrama.|250px

Como é comum em propriedades universais, essa propriedade universal caracteriza βX a menos de homeomorfismo.

Como delineado na seção abaixo, pode-se provar (usando o axioma da escolha) que tal compactificação de Stone-Čech iX : X → βX existe para todo espaço topológico X. Além disso, a imagem iX(X) é densa em βX.

Alguns autores adicionam a suposição de que o espaço inicial X seja de Tychonoff (ou mesmo Hausdorff localmente compacto), pelos seguintes motivos: O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo se e somente se X for de Tychonoff. O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo para um subespaço aberto se e somente se X for um espaço de Hausdorff localmente compacto. A construção de Stone-Čech pode ser realizada para espaços mais gerais X, mas nesse caso o mapa X → βX não precisa ser um homeomorfismo para a imagem de X (e às vezes nem sequer é injetivo).

Como é comum para construções universais como essa, a propriedade de extensão faz de β um funtor de Top (a categoria de espaços topológicos) para CHaus (a categoria de espaços compactos de Hausdorff). Além disso, se deixarmos U ser o funtor de inclusão de CHaus em Top, mapas de βX para K (para K em CHaus) correspondem bijetivamente a mapas de X para UK (considerando sua restrição a X e usando a propriedade universal de βX). ou seja, Hom(βX, K) ≅ Hom(X, UK), o que significa que β é um adjunto à esquerda de U. Isso implica que CHaus é uma subcategoria reflexiva de Top com refletor β.

Exemplos Se X é um espaço compacto de Hausdorff, então ele coincide com sua compactificação de Stone-Čech.

A compactificação de Stone-Čech do primeiro ordinal não enumerável , com a topologia da ordem, é o ordinal . A compactificação de Stone-Čech da prancha de Tychonoff deletada é a prancha de Tychonoff. Esses exemplos não requerem o axioma da escolha.

Construções

Construção usando produtos Uma tentativa de construir a compactificação de Stone-Čech de X é tomar o fecho da imagem de X em

onde o produto é sobre todos os mapas de X para espaços compactos de Hausdorff K (ou, equivalentemente, a imagem de X pela extensão de Kan à direita do funtor identidade da categoria CHaus de espaços compactos de Hausdorff ao longo do funtor de inclusão de CHaus na categoria Top de espaços topológicos gerais).Consulte o Exemplo 4.6.12 para uma construção explícita de adjunto à esquerda, ou a Proposição 6.5.2 para ver como adjuntos à esquerda podem ser vistos como extensões de Kan à direita em Pelo Teorema de Tychonoff, esse produto de espaços compactos é compacto, e o fecho de X neste espaço é, portanto, também compacto. Isso funciona intuitivamente, mas falha pela razão técnica de que a coleção de todos os mapas desse tipo é uma classe própria e não um conjunto. Existem várias maneiras de modificar essa ideia para fazê-la funcionar; por exemplo, pode-se restringir os espaços compactos de Hausdorff K a ter como conjunto subjacente P(P(X)) (o conjunto das partes do conjunto das partes de X), que é suficientemente grande para ter cardinalidade pelo menos igual à de todo espaço de Hausdorff compacto no qual X pode ser mapeado com imagem densa.Engelking, Ryszard (1989). General Topology. 2nd ed. Heldermann Verlag.Walker, Russell C. (1974). The Stone–Čech Compactification. Springer.

Construção usando o intervalo unitário Uma forma de construir βX é definir C como o conjunto de todas as funções contínuas de X para [0, 1] e considerar o mapa onde

Isso pode ser visto como um mapa contínuo sobre sua imagem, se [0, 1]C receber a topologia produto. Pelo Teorema de Tychonoff, temos que [0, 1]C é compacto, já que [0, 1] o é. Consequentemente, o fecho de X em [0, 1]C é uma compactificação de X.

Na verdade, esse fecho é a compactificação de Stone-Čech. Para verificar isso, precisamos apenas confirmar que o fecho satisfaz a propriedade universal apropriada. Fazemos isso primeiro para K = [0, 1], onde a extensão desejada de f : X → [0, 1] é apenas a projeção na coordenada f em [0, 1]C. A fim de obter isso para um compacto de Hausdorff geral K, usamos o argumento acima para notar que K pode ser mergulhado em algum cubo, estender cada uma das funções coordenadas e, em seguida, tomar o produto dessas extensões.

A propriedade especial do intervalo unitário necessária para que essa construção funcione é que ele é um cogerador da categoria de espaços compactos de Hausdorff: isso significa que se A e B são espaços compactos de Hausdorff, e f e g são mapas distintos de A para B, então existe um mapa h : B → [0, 1] tal que hf e hg são distintos. Qualquer outro cogerador (ou conjunto cogerador) pode ser usado nesta construção.Dugundji, James (1966). Topology. Allyn and Bacon.Engelking, Ryszard (1989). General Topology. 2nd ed. Heldermann Verlag.Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. Springer.Walker, Russell C. (1974). The Stone–Čech Compactification. Springer.

Construção usando ultrafiltros

Alternativamente, se for discreto, então é possível construir como o conjunto de todos os ultrafiltros em , com os elementos de correspondendo aos ultrafiltros principais. A topologia no conjunto de ultrafiltros, conhecida como , é gerada por conjuntos da forma para um subconjunto de .

Mais uma vez, verificamos a propriedade universal: Para com compacto de Hausdorff e um ultrafiltro em , temos uma base de ultrafiltro em , o avanço (pushforward) de . Isso tem um único limite porque é compacto de Hausdorff, digamos , e definimos Isso pode ser verificado como uma extensão contínua de .

De forma equivalente, pode-se tomar o Espaço de Stone da álgebra booliana completa de todos os subconjuntos de como a compactificação de Stone-Čech. Esta é realmente a mesma construção, pois o espaço de Stone dessa álgebra booliana é o conjunto de ultrafiltros (ou equivalentemente, ideais primos, ou homomorfismos para a álgebra booliana de 2 elementos) da álgebra booliana, que é o mesmo que o conjunto de ultrafiltros em .