Na matemática, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, nomeado em homenagem a Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann e Gustav Roch, é um resultado de Hirzebruch de 1954 que generaliza o teorema de Riemann-Roch clássico em superfícies de Riemann para todas as variedades algébricas complexas de dimensões superiores. O resultado preparou o caminho para o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, provado cerca de três anos depois.
Declaração do teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch O teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch aplica-se a qualquer fibrado vetorial holomorfo E em uma variedade complexa compacta X, para calcular a característica de Euler holomorfa de E na coomologia de feixes, ou seja, a soma alternadaHuybrechts 04, p. 231
das dimensões como espaços vetoriais complexos, onde n é a dimensão complexa de X.
O teorema de Hirzebruch afirma que χ(X, E) é computável em termos das classes de Chern ck(E) de E, e das classes de Todd do fibrado tangente holomorfo de X. Todas elas residem no anel de coomologia de X; pelo uso da classe fundamental (ou, em outras palavras, a integração sobre X) podemos obter números a partir de classes em A fórmula de Hirzebruch assevera que
usando o caráter de Chern ch(E) na coomologia. Em outras palavras, os produtos são formados no anel de coomologia de todos os graus "correspondentes" que somam 2n. Formulado de maneira diferente, isso nos dá a igualdadeHuybrechts 04, Theorem 5.1.1
onde é a classe de Todd do fibrado tangente de X.
Casos especiais significativos são quando E é um fibrado de linhas complexo e quando X é uma superfície algébrica (fórmula de Noether). O teorema de Riemann-Roch de Weil para fibrados vetoriais em curvas e o teorema de Riemann-Roch para superfícies algébricas (veja abaixo) estão incluídos em seu escopo. A fórmula também expressa de forma precisa a vaga noção de que as classes de Todd são, em certo sentido, o recíproco do caráter de Chern.
Teorema de Riemann-Roch para curvas Para curvas, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch é essencialmente o teorema de Riemann-Roch clássico. Para ver isso, lembre-se de que para cada divisor D em uma curva existe um feixe invertível O(D) (que corresponde a um fibrado de linhas) tal que o sistema linear de D é, mais ou menos, o espaço de seções de O(D).
Para curvas, a classe de Todd é e o caráter de Chern de um feixe O(D) é apenas 1+c1(O(D)), então o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch afirma que
(integrado sobre X).
Mas h0(O(D)) é apenas l(D), a dimensão do sistema linear de D, e pela dualidade de Serre h1(O(D)) = h0(O(K − D)) = l(K − D) onde K é o divisor canônico. Além disso, c1(O(D)) integrado sobre X é o grau de D, e c1(T(X)) integrado sobre X é a classe de Euler 2 − 2g da curva X, onde g é o gênero. Portanto, obtemos o teorema de Riemann-Roch clássico:
Para fibrados vetoriais V, o caráter de Chern é posto(V) + c1(V), então obtemos o teorema de Riemann-Roch de Weil para fibrados vetoriais sobre curvas:
Teorema de Riemann-Roch para superfícies
Para superfícies, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch é essencialmente o teorema de Riemann-Roch para superfícies:
combinado com a fórmula de Noether.
Se quisermos, podemos usar a dualidade de Serre para expressar h2(O(D)) como h0(O(K − D)), mas ao contrário do caso das curvas, em geral não há uma maneira fácil de escrever o termo h1(O(D)) em uma forma que não envolva a coomologia de feixes (embora na prática ele frequentemente se anule).
Riemann-Roch assintótico
Seja D um divisor de Cartier amplo em uma variedade projetiva irredutível X de dimensão n. Então
Mais genericamente, se é qualquer feixe coerente em X, então
Ver também
Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch - contém muitos cálculos e exemplos Polinômio de Hilbert - O HRR pode ser usado para calcular polinômios de Hilbert
Bibliografia Friedrich Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry
Ligações externas O Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
Categoria:Métodos topológicos da geometria algébrica Categoria:Teoremas em geometria complexa Categoria:Teoremas em geometria algébrica Categoria:Bernhard Riemann