Na geometria algébrica, a coomologia local é um análogo algébrico da coomologia relativa. Alexander Grothendieck introduziu-a em seminários em Harvard em 1961, redigidos por , e em 1961–2 no IHES, redigidos como SGA2 - , republicado como . Dada uma função (mais geralmente, uma seção de um feixe quase coerente) definida em um subconjunto aberto de uma variedade algébrica (ou esquema), a coomologia local mede a obstrução para estender essa função para um domínio maior. A função racional , por exemplo, é definida apenas no complemento de na reta afim sobre um corpo , e não pode ser estendida para uma função em todo o espaço. O módulo de coomologia local (onde é o anel de coordenadas de ) detecta isso no não anulamento de uma classe de coomologia . De maneira semelhante, é definida longe dos eixos e no plano afim, mas não pode ser estendida nem para o complemento do eixo nem para o complemento do eixo sozinhos (tampouco pode ser expressa como uma soma de tais funções); essa obstrução corresponde precisamente a uma classe não nula no módulo de coomologia local .
Fora da geometria algébrica, a coomologia local encontrou aplicações na álgebra comutativa, na combinatória, e em certos tipos de equações diferenciais parciais.
Definição Na forma geométrica mais geral da teoria, seções são consideradas de um feixe de grupos abelianos, em um espaço topológico , com suporte em um subconjunto fechado . Os funtores derivados de formam os grupos de coomologia local
Na forma algébrica da teoria, o espaço X é o espectro Spec(R) de um anel comutativo R (assumido como noetheriano ao longo deste artigo) e o feixe F é o feixe quase coerente associado a um módulo-R M, denotado por . O subesquema fechado Y é definido por um ideal I. Nessa situação, o funtor ΓY(F) corresponde ao funtor de I-torção, uma união de anuladores
ou seja, os elementos de M que são anulados por alguma potência de I. Como um funtor derivado à direita, o i-ésimo módulo de coomologia local em relação a I é o i-ésimo grupo de coomologia do complexo de cadeias obtido ao tomar a parte de I-torção de uma resolução injetiva do módulo . Como consiste em módulos-R e homomorfismos de módulos-R, cada um dos grupos de coomologia local tem a estrutura natural de um módulo-R.
A parte de I-torção pode ser alternativamente descrita como
e por essa razão, a coomologia local de um módulo-R M concorda com um limite direto de módulos Ext,
Segue de qualquer uma dessas definições que permaneceria inalterado se fosse substituído por outro ideal tendo o mesmo radical. Segue-se também que a coomologia local não depende de qualquer escolha de geradores para I, um fato que se torna relevante na seguinte definição envolvendo o complexo de Čech.
Usando complexos de Koszul e Čech A definição de coomologia local através de funtores derivados requer uma resolução injetiva do módulo , o que pode torná-la inacessível para uso em cálculos explícitos. O complexo de Čech é visto como mais prático em certos contextos. , por exemplo, afirmam que eles "essencialmente ignoram" o "problema de realmente produzir qualquer uma dessas resoluções [injetivas] para um determinado módulo" antes de apresentar a definição do complexo de Čech da coomologia local, e descreve a coomologia de Čech como "uma forma prática de método para calcular a coomologia de feixes quase-coerentes em um esquema." e como sendo "adequada para cálculos".
O complexo de Čech pode ser definido como um colimite de complexos de Koszul onde geram . Os módulos de coomologia local podem ser descritos como:
Complexos de Koszul têm a propriedade de que a multiplicação por induz um morfismo de complexo de cadeias que é homotópico a zero, significando que é anulado pelo . Um mapa não nulo no colimite dos conjuntos contém mapas de quase todos os complexos de Koszul (excluindo finitos) e que não são anulados por algum elemento no ideal.
Este colimite de complexos de Koszul é isomorfo a o complexo de Čech, denotado por , abaixo. onde o i-ésimo módulo de coomologia local de com respeito a é isomorfo ao i-ésimo grupo de coomologia do complexo de cadeias acima,
A questão mais ampla do cálculo de módulos de coomologia local (em característica zero) é discutida em e .
Propriedades básicas Como a coomologia local é definida como um funtor derivado, para qualquer sequência exata curta de módulos-R , existe, por definição, uma sequência exata longa natural em coomologia local
Há também uma sequência exata longa de coomologia de feixes ligando a coomologia de feixes ordinária de X e do conjunto aberto U = X \Y, com os módulos de coomologia local. Para um feixe quase coerente F definido em X, isso tem a forma
No contexto onde X é um esquema afim e Y é o conjunto de anulamento de um ideal I, os grupos de coomologia se anulam para . Se , isso leva a uma sequência exata
onde o mapa central é a restrição de seções. O alvo desse mapa de restrição também é chamado de transformada de ideal. Para n ≥ 1, existem isomorfismos
Devido ao isomorfismo acima com a coomologia de feixes, a coomologia local pode ser usada para expressar várias construções topológicas significativas no esquema em termos puramente algébricos. Por exemplo, existe um análogo natural em coomologia local da sequência de Mayer-Vietoris em relação a um par de conjuntos abertos U e V em X, dados pelos complementos dos subesquemas fechados correspondentes a um par de ideais I e J, respectivamente. Essa sequência tem a forma
para qualquer módulo .
O anulamento da coomologia local pode ser usado para limitar o menor número de equações (conhecido como o posto aritmético) necessário para (teoricamente falando em conjuntos) definir o conjunto algébrico em . Se tem o mesmo radical que , e é gerado por elementos, então o complexo de Čech nos geradores de não tem termos em grau . O menor número de geradores entre todos os ideais tal que é o posto aritmético de , denotado . Como a coomologia local em relação a pode ser calculada usando qualquer ideal desse tipo, segue que para .
Coomologia local graduada e geometria projetiva
Quando é graduado por , é gerado por elementos homogêneos e é um módulo graduado, há uma graduação natural no módulo de coomologia local que é compatível com as graduações de e . Todas as propriedades básicas da coomologia local expressas neste artigo são compatíveis com a estrutura graduada. Se for finitamente gerado e for o ideal gerado pelos elementos de com grau positivo, então as componentes graduadas são finitamente geradas sobre e se anulam para um suficientemente grande.
O caso onde é o ideal gerado por todos os elementos de grau positivo (às vezes chamado de ideal irrelevante) é particularmente especial, devido à sua relação com a geometria projetiva. Neste caso, há um isomorfismo
onde é o esquema projetivo associado a , e denota a torção de Serre. Esse isomorfismo é graduado, resultando em
em todos os graus .
Esse isomorfismo relaciona a coomologia local com a coomologia global dos esquemas projetivos. Por exemplo, a regularidade de Castelnuovo-Mumford pode ser formulada usando a coomologia local como
onde denota o grau mais alto de forma que . A coomologia local pode ser usada para provar certos resultados de limite superior relativos à regularidade.
Exemplos
Topo da coomologia local Usando o complexo de Čech, se o módulo de coomologia local é gerado sobre pelas imagens das frações formais
para e . Esta fração corresponde a um elemento não nulo de se e somente se não houver um de forma que . Por exemplo, se , então
Se é um corpo e é um anel de polinômios sobre em variáveis, então o módulo de coomologia local pode ser visto como um espaço vetorial sobre com base dada pelas (classes de coomologia de Čech dos) monômios inversos para . Como um módulo-, a multiplicação por reduz em 1, sujeita à condição Como as potências não podem ser aumentadas multiplicando por elementos de , o módulo não é finitamente gerado.
Exemplos de H1 Se é conhecido (onde ), o módulo pode às vezes ser computado explicitamente usando a sequência
Nos exemplos a seguir, é qualquer corpo.
Se e , então e, como um espaço vetorial sobre , o primeiro módulo de coomologia local é , um espaço vetorial de unidimensional gerado por . Se e , então e , então é um espaço vetorial de de dimensão infinita com base
Relação com invariantes de módulos A dimensão dimR(M) de um módulo (definida como a dimensão de Krull do seu suporte) fornece um limite superior para os módulos de coomologia local:
Se R for local e M for finitamente gerado, então este limite é nítido (sharp), ou seja, .
A profundidade (definida como o comprimento máximo de uma sequência M-regular; também chamada de grau de M) fornece um limite inferior aguçado (sharp), ou seja, é o menor inteiro n tal que, , M is finitely generated, IM ≠ M
Estes dois limites juntos produzem uma caracterização dos módulos de Cohen-Macaulay sobre anéis locais: eles são precisamente aqueles módulos em que se anula para todos, exceto um único n.
Dualidade local O teorema da dualidade local é um análogo local da dualidade de Serre. Para um anel local Cohen-Macaulay de dimensão que é a imagem homomórfica de um anel local de Gorenstein (por exemplo, se for completo), ele afirma que o emparelhamento natural
é um emparelhamento perfeito, em que é um módulo dualizante para . Em termos do funtor de dualidade de Matlis , o teorema da dualidade local pode ser expresso como o isomorfismo a seguir.
A afirmação é mais simples quando , o que é equivalente à hipótese de que seja Gorenstein. Esse é o caso, por exemplo, se for regular.
Aplicações As aplicações iniciais foram voltadas a análogos dos teoremas de hiperplanos de Lefschetz. Em geral, tais teoremas afirmam que a homologia ou coomologia está apoiada (tem suporte) em uma seção de hiperplano de uma variedade algébrica, exceto por alguma 'perda' que pode ser controlada. Esses resultados foram aplicados ao grupo fundamental algébrico e ao grupo de Picard.
Outro tipo de aplicação são os teoremas de conexidade, como o teorema de conexidade de Grothendieck (um análogo local do teorema de Bertini) ou o teorema de conexidade de Fulton-Hansen atribuído a e . O último afirma que, para duas variedades projetivas V e W em Pr sobre um corpo algebricamente fechado, a dimensão de conexidade de Z = V ∩ W (ou seja, a dimensão mínima de um subconjunto fechado T de Z que deve ser removido de Z para que o complemento Z \ T seja desconexo) é limitada por c(Z) ≥ dim V + dim W − r − 1. Por exemplo, Z é conexo se dim V + dim W > r.
Na geometria poliédrica, um ingrediente chave da prova de Stanley de 1975 da forma simplicial do teorema do limite superior de McMullen envolve mostrar que o anel de Stanley-Reisner do complexo simplicial correspondente é Cohen-Macaulay, e a coomologia local é uma ferramenta importante nesse cálculo, via fórmula de Hochster.
Ver também Homologia local - fornece análogo topológico e cálculo da homologia local do cone de um espaço Teorema do anulador de Faltings
Referências
Bibliografia
Resenha do livro por Hartshorne
Categoria:Teoria dos feixes Categoria:Métodos topológicos da geometria algébrica Categoria:Teorias de coomologia Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Teorias de dualidade Categoria:Teorias de cohomologia