Na geometria algébrica, uma cohomologia de Weil ou teoria da cohomologia de Weil é uma cohomologia que satisfaz certos axiomas relativos à interação de ciclos algébricos e grupos de cohomologia. O nome é uma homenagem a André Weil. Qualquer teoria da cohomologia de Weil fatora de forma única através da categoria dos motivos de Chow, mas a categoria dos motivos de Chow em si não é uma teoria da cohomologia de Weil, uma vez que não é uma categoria abeliana.

Definição Fixe um corpo base k de característica arbitrária e um "corpo de coeficientes" K de característica zero. Uma teoria da cohomologia de Weil é um funtor contravariante

que satisfaz os axiomas abaixo. Para cada variedade algébrica projetiva suave X de dimensão n sobre k, a K-álgebra graduada

deve satisfazer o seguinte:

é um espaço vetorial sobre K de dimensão finita para cada inteiro i. para cada i < 0 ou i > 2n. é isomorfo a K (o chamado mapa de orientação). Dualidade de Poincaré: existe um emparelhamento perfeito Existe um isomorfismo canônico de Künneth Para cada inteiro r, existe uma aplicação de ciclo definida no grupo de ciclos algébricos de codimensão r em X, satisfazendo certas condições de compatibilidade em relação à funtorialidade de H e ao isomorfismo de Künneth. Se X for um ponto, exige-se que a aplicação de ciclo seja a inclusão Z ⊂ K. Axioma fraco de Lefschetz: Para qualquer seção de hiperplano suave j: W ⊂ X (ou seja, W = X ∩ H, sendo H algum hiperplano no espaço projetivo ambiente), os mapas são isomorfismos para e injeções para . Axioma forte de Lefschetz: Seja W uma seção de hiperplano e a sua imagem sob a aplicação de classe de ciclo. O operador de Lefschetz é definido como onde o ponto denota o produto na álgebra . Então é um isomorfismo para i = 1, ..., n.

Exemplos

Existem quatro teorias clássicas da cohomologia de Weil:

cohomologia singular (= Betti), considerando variedades sobre C como espaços topológicos e utilizando a sua topologia analítica (ver GAGA),

Cohomologia de de Rham sobre um corpo base de característica zero: sobre C é definida por formas diferenciais e, em geral, por meio do complexo de diferenciais de Kähler (ver Cohomologia de de Rham algébrica),

cohomologia -ádica para variedades sobre corpos de característica diferente de ,

Cohomologia cristalina.

As provas dos axiomas para a cohomologia de Betti e a cohomologia de de Rham são comparativamente fáceis e clássicas. Para a cohomologia -ádica, por exemplo, a maioria das propriedades acima são teoremas profundos.

O anulamento dos grupos de cohomologia de Betti que excedem o dobro da dimensão fica claro a partir do fato de que uma variedade (complexa) de dimensão complexa n tem dimensão real 2n, de modo que esses grupos de cohomologia superiores se anulam (por exemplo, comparando-os com a (co)homologia simplicial).

A aplicação de ciclo de de Rham também tem uma explicação mais palpável: dada uma subvariedade Y de codimensão complexa r numa variedade completa X de dimensão complexa n, a dimensão real de Y é 2n−2r, de forma que se pode integrar qualquer (2n−2r)-forma diferencial ao longo de Y para produzir um número complexo. Isso induz um funcional linear . Pela dualidade de Poincaré, fornecer tal funcional é equivalente a dar um elemento de ; esse elemento é a imagem de Y sob a aplicação de ciclo.

Ver também

Motivo (geometria algébrica)

Referências

Bibliografia (contém provas de todos os axiomas para a cohomologia de Betti e de de Rham) (idem para a cohomologia l-ádica)

Categoria:Geometria algébrica Categoria:Teorias de cohomologia