Em matemática, a teoria de Galois de Grothendieck é uma abordagem abstrata da teoria de Galois de corpos, desenvolvida por volta de 1960 com o objetivo de transportar para o contexto da geometria algébrica a noção de grupo fundamental da topologia algébrica. No quadro clássico da teoria dos corpos, ela fornece uma perspectiva alternativa à abordagem de Emil Artin baseada em álgebra linear, que se tornou padrão a partir da década de 1930.Grothendieck, Alexander (1971). Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Lecture Notes in Mathematics 224. Springer.Szamuely, Tamás (2009). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 117. Cambridge University Press.Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Princeton University Press.
A abordagem de Alexander Grothendieck enfatiza propriedades de teoria das categorias que caracterizam as categorias de G-conjuntos finitos, para um grupo profinito fixo G. Por exemplo, G pode ser o grupo (ver inteiro profinito), definido como o limite inverso dos grupos cíclicos aditivos — ou, de modo equivalente, como a completude do grupo cíclico infinito para a topologia cujas vizinhanças da identidade são os subgrupos de índice finito. Um G-conjunto finito é então um conjunto finito X no qual G atua através de um quociente finito; no exemplo de , isso equivale a especificar uma permutação de X (pois a ação fatoriza por um grupo cíclico finito).Grothendieck, Alexander (1971). Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Lecture Notes in Mathematics 224. Springer.Szamuely, Tamás (2009). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 117. Cambridge University Press.Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel (2010). Profinite Groups. 2nd ed. Springer.Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Cohomology of Number Fields. 2nd ed. Springer.
Nesse exemplo, a ligação com a teoria de Galois clássica aparece ao interpretar como o grupo de Galois profinito do fecho algébrico de um corpo finito sobre . Em outras palavras, os automorfismos de que fixam podem ser descritos como um limite inverso quando se considera uma torre de extensões finitas (corpos de decomposição) de . A conexão com a geometria pode ser vista ao considerar recobrimentos do disco unitário no plano complexo com a origem removida: o recobrimento finito dado pela aplicação corresponde ao subgrupo do grupo fundamental do disco perfurado.
A teoria de Grothendieck, apresentada em SGA 1, mostra como reconstruir a categoria de G-conjuntos a partir de um funtor fibra , que no contexto geométrico associa a um recobrimento a sua fibra (como conjunto) acima de um ponto base fixado. De fato, obtém-se um isomorfismo do tipo
onde denota o grupo de automorfismos de , isto é, as auto-transformações naturais invertíveis (auto-equivalências naturais) do funtor. Mais abstratamente, a teoria fornece um critério para reconhecer quando uma categoria munida de um funtor para a categoria dos conjuntos é equivalente a uma categoria de G-conjuntos para algum G profinito.
Para aplicar esse formalismo ao caso de corpos, torna-se necessário estudar o produto tensorial de corpos. Na teoria de topoi, essa análise aparece como parte do estudo dos chamados topos atómicos.Grothendieck, Alexander (1972). Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Lecture Notes in Mathematics 224. Springer.Johnstone, Peter T. (2002). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford University Press.Lang, Serge (2002). Algebra. 3rd ed. Springer.Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra II: Chapters 4–7. Springer.
Ver também Formalismo tannakiano Funtor fibra Geometria anabeliana
Referências
Bibliografia
Categoria:Teoria de Galois Categoria:Geometria algébrica Categoria:Teoria das categorias